【題目】如圖①,P為△ABC所在平面上一點(diǎn),且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,則點(diǎn)P叫作△ABC的費(fèi)馬點(diǎn).
(1)如果點(diǎn)P為銳角△ABC的費(fèi)馬點(diǎn),且∠ABC=60°.
①求證: △ABP∽△BCP;
②若PA=3,PC=4,求PB的長(zhǎng);
(2)如圖②,已知銳角△ABC,分別以AB,AC為邊向外作正△ABE和正△ACD,CE和BD相交于點(diǎn)P,連接AP.
①求∠CPD的度數(shù);
②求證:點(diǎn)P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn).
【答案】(1)見解析 (2)60° (3)見解析
(1)①證明:∵∠PAB+∠PBA=180°-∠APB=60°,∠PBC+∠PBA=∠ABC=60°,∴∠PAB=∠PBC.又∵∠APB=∠BPC=120°,∴△ABP∽△BCP
②解:由①可知△ABP∽△BCP,∴ ,∴PB2=PA·PC=12,∴PB=2.
(2)①解:如圖,∵△ABE和△ACD是正三角形,∴AE=AB,AC=AD,∠EAB=∠5=60°.∵∠EAC=∠EAB+∠BAC,∠BAD=∠BAC+∠5,∴∠EAC=∠BAD,∴△ACE≌△ADB,∴∠1=∠2.∵∠3=∠4,∴∠CPD=∠5=60°.
②證明:由①可知∠1=∠2,∠3=∠4,∴△ADF∽△PCF,∴AF∶PF=DF∶CF,∴AF∶DF=PF∶CF.∵∠AFP=∠CFD,∴△AFP∽△DFC,∴∠APF=∠ACD=60°.由①可知∠CPD=60°,∴∠APC=∠CPD+∠APF=120°,∠BPC=180°-∠CPD=120°,∴∠APB=360°-∠BPC-∠APC=120°,∴點(diǎn)P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn).
【解析】試題分析: ①由費(fèi)馬點(diǎn)的定義可知∠APB=∠BPC=120°,然后再證明∠PAB=∠PBC即可證明△ABP∽△BCP ②由①可知△ABP∽△BCP,得到,即可求出的長(zhǎng).
如圖所示:①首先證明△ACE≌△ADB,則∠1=∠2,由∠3=∠4可得到∠CPD=∠5=60°.
②由∠CPD=60°.可證明∠BPC=180°-∠CPD=120°,然后證明△ADF∽△PCF,由相似三角形的性質(zhì)和判定定理再證明△AFP∽△DFC,故此可得到∠APF=∠ACD=60°,然后可求得∠APC=∠CPD+∠APF=120°,接下來可求得∠APB=360°-∠BPC-∠APC=120°,即可說明.
試題解析:
(1)①∵∠PAB+∠PBA=180°-∠APB=60°,∠PBC+∠PBA=∠ABC=60°,
∴∠PAB=∠PBC.
又∵∠APB=∠BPC=120°,
②由①可知△ABP∽△BCP,
∴
∴PB2=PA·PC=12,
(2)①如圖,∵△ABE和△ACD是正三角形,
∴AE=AB,AC=AD,∠EAB=∠5=60°.
∵∠EAC=∠EAB+∠BAC,∠BAD=∠BAC+∠5,
∴∠EAC=∠BAD,
∴△ACE≌△ADB,
∴∠1=∠2.
∵∠3=∠4,
∴∠CPD=∠5=60°.
②由①可知∠1=∠2,∠3=∠4,
∴△ADF∽△PCF,
∴AF∶PF=DF∶CF,
∴AF∶DF=PF∶CF.
∵∠AFP=∠CFD,
∴△AFP∽△DFC,
∴∠APF=∠ACD=60°.
由①可知∠CPD=60°,
∴∠APC=∠CPD+∠APF=120°,
∠BPC=180°-∠CPD=120°,
∴∠APB=360°-∠BPC-∠APC=120°,
∴點(diǎn)P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公園草坪的防護(hù)欄由100段形狀相同的拋物線形構(gòu)件組成,為了牢固起見,每段護(hù)欄需要間距0.4m加設(shè)一根不銹鋼的支柱,防護(hù)欄的最高點(diǎn)距底部0.5m(如圖),則這條防護(hù)欄需要不銹鋼支柱的總長(zhǎng)度至少為( )
A. 50m B. 100m C. 160m D. 200m
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,甲、乙為兩座建筑物,它們之間的水平距離BC為30m,在A點(diǎn)測(cè)得D點(diǎn)的仰角∠EAD為45°,在B點(diǎn)測(cè)得D點(diǎn)的仰角∠CBD為60°,求這兩座建筑物的高度(結(jié)果保留根號(hào))
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有一個(gè)幾何體的形狀為直三棱柱,右圖是它的主視圖和左視圖.
(1)請(qǐng)補(bǔ)畫出它的俯視圖,并標(biāo)出相關(guān)數(shù)據(jù);
(2)根據(jù)圖中所標(biāo)的尺寸(單位:厘米),計(jì)算這個(gè)幾何體的全面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線()交軸于點(diǎn),交軸于點(diǎn).
(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)(用含的代數(shù)式表示)
(2)若點(diǎn)是直線上的任意一點(diǎn),且點(diǎn)與點(diǎn)距離的最小值為4,求該直線表達(dá)式;
(3)在(2)的基礎(chǔ)上,若點(diǎn)在第一象限,且為等腰直角三角形,求點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一位農(nóng)民帶上若干千克自產(chǎn)的土豆進(jìn)城出售.為了方便,他帶了一些零錢備用,按市場(chǎng)價(jià)售出一些后,又降價(jià)出售,售出的土豆千克數(shù)x與他手中持有的錢數(shù)y(含備用零錢)的關(guān)系如圖所示,結(jié)合圖象回答下列問題:
(1)農(nóng)民自帶的零錢是多少?
(2)求降價(jià)前農(nóng)民手中的錢數(shù)y與售出的土豆千克數(shù)x的函數(shù)關(guān)系式;
(3)降價(jià)后他按每千克0.4元將剩余土豆售完,這時(shí)他手中的錢(含備用零錢)是26元,試問他一共帶了多少千克土豆?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,某數(shù)學(xué)興趣小組想測(cè)量一棵樹CD的高度,他們先在點(diǎn)A處測(cè)得樹頂C的仰角為30°,然后沿AD方向前行10m,到達(dá)B點(diǎn),在B處測(cè)得樹頂C的仰角高度為60°(A、B、D三點(diǎn)在同一直線上).請(qǐng)你根據(jù)他們測(cè)量數(shù)據(jù)計(jì)算這棵樹CD的高度(結(jié)果精確到0.1m).(參考數(shù)據(jù):≈1.414,≈1.732)
【答案】8.7米
【解析】試題分析:首先利用三角形的外角的性質(zhì)求得∠ACB的度數(shù),得到BC的長(zhǎng)度,然后在直角△BDC中,利用三角函數(shù)即可求解.
試題解析:∵∠CBD=∠A+∠ACB,
∴∠ACB=∠CBD﹣∠A=60°﹣30°=30°,
∴∠A=∠ACB,
∴BC=AB=10(米).
在直角△BCD中,CD=BCsin∠CBD=10×=5≈5×1.732=8.7(米).
答:這棵樹CD的高度為8.7米.
考點(diǎn):解直角三角形的應(yīng)用
【題型】解答題
【結(jié)束】
23
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=﹣x2+ax+b交x軸于A(1,0),B(3,0)兩點(diǎn),點(diǎn)P是拋物線上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn),直線BP與y軸相交于點(diǎn)C.
(1)求拋物線y=﹣x2+ax+b的解析式;
(2)當(dāng)點(diǎn)P是線段BC的中點(diǎn)時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)在(2)的條件下,求sin∠OCB的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】發(fā)現(xiàn)來源于探究。小亮進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動(dòng),作邊長(zhǎng)為a的正方形ABCD和邊長(zhǎng)邊b的正方形AEFG(a>b),開始時(shí)點(diǎn)E在AB上,如圖1,將正方形AEFG繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)。
(1)如圖2,小亮將正方形AEFG繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),連接BE、DG,請(qǐng)證明:△ADG≌△ABE;
(2)如圖3,小亮將正方形AEFG繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),連接BE、DG,當(dāng)點(diǎn)G恰好落在線段BE上,且a=3,b=2時(shí),請(qǐng)你幫他求此時(shí)DG的長(zhǎng)。
(3)如圖4,小亮旋轉(zhuǎn)正方形AEFG,當(dāng)點(diǎn)E在DA的延長(zhǎng)線上時(shí),連接BF、DF,若FG平分∠BFD,請(qǐng)你幫他求a:b的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解學(xué)生課余活動(dòng)情況,某班對(duì)參加A組:繪畫;B組:書法;C組:舞蹈;D組:樂器;這四個(gè)課外興趣小組的人員分布情況進(jìn)行抽樣調(diào)查,并根據(jù)收集的數(shù)據(jù)繪制了如圖兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)根據(jù)圖中提供信息,解答下面的問題:
(1)此次共調(diào)查了多少名同學(xué)?
(2)將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整,
(3)計(jì)算扇形統(tǒng)計(jì)圖中書法部分的圓心角的度數(shù);
(4)已知在此次調(diào)查中,參加D組的5名學(xué)生中有3名女生和2名男生,要從這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生參加市舉辦的音樂賽,用列表法或畫樹狀圖的方法求出抽取的2名學(xué)生恰好是1男1女的概率。
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