Question

如圖，美麗的徒駭河宛如一條玉帶穿城而過(guò)，沿河兩岸的濱河大道和風(fēng)景帶成為我市的一道新景觀．在數(shù)學(xué)課外實(shí)踐活動(dòng)中，小亮在河西岸濱河大道一段AC上的A，B兩點(diǎn)處，利用測(cè)角儀分別對(duì)東岸的觀景臺(tái)D進(jìn)行了測(cè)量，分別測(cè)得∠DAC=60°，∠DBC=75°．又已知AB=100米，求觀景臺(tái)D到徒駭河西岸AC的距離約為多少米（精確到1米）．（tan60°≈1.73，tan75°≈3.73）

Answer 1

考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用

專(zhuān)題：幾何圖形問(wèn)題,數(shù)形結(jié)合

分析：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E．通過(guò)解Rt△EAD和Rt△EBD分別求得AE、BE的長(zhǎng)度，然后根據(jù)圖示知：AB=AE-BE=100，把相關(guān)線段的長(zhǎng)度代入列出關(guān)于ED的方程

ED

tan60°

-

ED

tan75°

=100．通過(guò)解該方程求得ED的長(zhǎng)度．

解答：解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E．
∵在Rt△EAD中，∠DAE=60°，
∴tan60°=

ED

AE

，
∴AE=

ED

tan60°

同理，在Rt△EBD中，
得到EB=

ED

tan75°

．
又∵AB=100米，
∴AE-EB=100米，
即

ED

tan60°

-

ED

tan75°

=100．
則ED=

100×tan60°×tan75°

tan75°-tan60°

≈

100×1.73×3.73

3.73-1.73

≈323（米）．
答：觀景臺(tái)D到徒駭河西岸AC的距離約為323米．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用．主要是正切概念及運(yùn)算，關(guān)鍵把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題加以計(jì)算．