Question

在直角坐標(biāo)系中，A （-6，0），B在第二象限，AOB為等邊三角形．BE⊥y軸與y軸相交于點E，F(xiàn)在第一象限，△EOF為等邊三角形．連接AF．求證：PA=PF．（不能用四點共圓、三角函數(shù)、相似三角形解題）

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),坐標(biāo)與圖形性質(zhì)

專題：

分析：易證點B坐標(biāo)，即可求得點E坐標(biāo)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可求得點F的坐標(biāo)，即可求得直線AF的解析式，即可求得點P的坐標(biāo)，即可解題．

解答：解：找到AO中點M，OE中點N，連接BM，F(xiàn)N，

∵△AOB為等邊三角形，AM=3，
∴BM=3

3

，
∴點B橫坐標(biāo)為-3，縱坐標(biāo)為3

3

，
∴點E坐標(biāo)為（0，3

3

），
∵△EOF為等邊三角形，ON=

3 3

2

，
∴FN=

9

2

，
∴F點坐標(biāo)為（

9

2

，

3 3

2

）
設(shè)直線AF解析式為y=kx+b，代入A，F(xiàn)得：y=

3

7

x+

6 3

7

，
設(shè)直線OB解析式為y=kx+b，代入O，B得：y=-

3

x，
∴交點P坐標(biāo)為（-

3

4

，

3 3

4

）．
∴AP=PF．

點評：本題考查了等邊三角形三線合一的性質(zhì)，考查了一次函數(shù)在平面直角坐標(biāo)系中運用，本題中求得直線AF的解析式是解題的關(guān)鍵．