Question

如圖，P₁是反比例函數(shù)y=

k

x

（k＞0）在第一象限圖象上的一點(diǎn)，已知△P₁O A₁為等邊三角形，點(diǎn)A₁的坐標(biāo)為（2，0）．
（1）直接寫出點(diǎn)P₁的坐標(biāo)；
（2）求此反比例函數(shù)的解析式；
（3）若△P₂A₁A₂為等邊三角形，求點(diǎn)A₂的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）過(guò)P₁作P₁M⊥x軸，根據(jù)△P₁O A₁為等邊三角形，由點(diǎn)A₁的坐標(biāo)確定出等邊三角形的邊長(zhǎng)，利用三線合一求出OM的長(zhǎng)，在Rt△OP₁M中，根據(jù)勾股定理求出P₁M的長(zhǎng)，即可確定出點(diǎn)P₁的坐標(biāo)；
（2）將點(diǎn)P₁的坐標(biāo)代入反比例解析式中求出k的值，即可確定出反比例解析式；
（3）設(shè)等邊三角形P₂A₁A₂的邊長(zhǎng)為a（a＞0），表示出A₂坐標(biāo)，分別表示出OH與P₂H，確定出P₂坐標(biāo)，將P₂坐標(biāo)代入反比例解析式得出關(guān)于a的方程，求出方程的解得到a的值，即可確定出A₂坐標(biāo)．

解答：解：（1）過(guò)P₁作P₁M⊥x軸，如圖所示，
∵△P₁O A₁為等邊三角形，點(diǎn)A₁的坐標(biāo)為（2，0），
∴OP₁=OA₁=2，OM=A₁M=1，
在Rt△OP₁M中，根據(jù)勾股定理得：P₁M=

22-12

=

3

，
則P₁（1，

3

）；

（2）∵P₁在反比例函數(shù)y=

k

x

（k＞0）圖象上，
∴

3

=

k

1

，即k=

3

，
則反比例函數(shù)的解析式為y=

3

x

；

（3）設(shè)等邊三角形P₂A₁A₂的邊長(zhǎng)為a（a＞0），則A₂（2+a，0），
如圖，過(guò)P₂作P₂H⊥x軸，垂足為點(diǎn)H，
∴A₁H=

1

2

a，P₂H=P₂A₁sin∠P₂A₁H=a•sin60°=

3 a

2

，
∴P₂（2+

1

2

a，

3 a

2

），
∵P₂在反比例函數(shù)y=

3

x

圖象上，
∴

3 a

2

=

3

2+ 1 2 a

，即a²+4a-4=0，
解得：a₁=2

2

-2，a₂=-2

2

-2（舍去），
∴2+a=2

2

，
∴A₂（2

2

，0）．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義，以及等邊三角形的性質(zhì)，弄清題意是解本題的關(guān)鍵．