Question

如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的切線，切點(diǎn)為C，BE⊥CD，垂足為E，交圓與點(diǎn)F，連接AC、BC．
（1）△ABC的形狀是

 

理由是

 

；
（2）求證：BC平分∠ABE；
（3）若AB=8，BF=4，求圓心O到BE的距離？那么CE的長(zhǎng)呢？

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)圓周角定理求解；
（2）連接OC，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得OC⊥DE，而BE⊥DE，根據(jù)平行線的判定得到OC∥BE，則∠OCB=∠CBE，加上∠OCB=∠OBC，所以∠OBC=∠CBE；
（3）作OF⊥BE于H，如圖，根據(jù)垂徑定理得BH=

1

2

BF=2，在Rt△OBH中，利用勾股定理可計(jì)算出OH=2

3

，再證明四邊形OCDH為矩形，則CE=OH=2

3

．

解答：（1）解：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC為直角三角形．
故答案為直角三角形；直徑所對(duì)的圓周角為90°；
（2）證明：連接OC，如圖，
∵CD是⊙O的切線，
∴OC⊥DE，
∵BE⊥DE，
∴OC∥BE，
∴∠OCB=∠CBE，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠OBC=∠CBE，
∴BC平分∠ABE；
（3）解：作OF⊥BE于H，如圖，
∵OH⊥BF，
∴BH=FH=

1

2

BF=

1

2

×4=2，
在Rt△OBH中，OB=4，
∴OH=

OB2-BH2

=2

3

，
∵OC⊥DE，BE⊥DE，
∴四邊形OCDH為矩形，
∴CE=OH=2

3

，
即圓心O到BE的距離為2

3

，CE的長(zhǎng)為2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑；經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)；經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心．也考查了圓周角定理、垂徑定理和勾股定理．