Question

如圖，在Rt△ABC中，已知∠B=90°，∠C=30°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，求sin∠DAC．

Answer 1

考點(diǎn)：解直角三角形

專題：

分析：作DE⊥AC于E，在Rt△ADE中，先解Rt△DEC，得出CD=2DE=2k，由點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，得到BD=CD=2k，BC=2CD=4k．再解Rt△ABC，求出AB=BC•tanC=4k×

3

3

=

4 3

3

k．在Rt△ABD中，利用勾股定理得出AD=

AB2+BD2

=

2 21

3

k．然后在Rt△ADE中，利用正弦函數(shù)的定義即可求解．

解答：解：過(guò)D作DE⊥AC于E，
設(shè)DE=k．
在Rt△DEC中，∵∠DEC=90°，∠C=30°，
∴CD=2DE=2k，
∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，
∴BD=CD=2k，BC=2CD=4k．
在Rt△ABC中，∵∠B=90°，∠C=30°，
∴AB=BC•tanC=4k×

3

3

=

4 3

3

k．
在Rt△ABD中，∵∠B=90°，
∴AD=

AB2+BD2

=

( 4 3 3 k)2+(2k)2

=

2 21

3

k．
在Rt△ADE中，∵∠DEA=90°，
∴sin∠DAC=

DE

AD

=

k

2 21 3 k

=

21

14

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了解直角三角形，勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義，關(guān)鍵是正確作出輔助線進(jìn)行求解，難度適中．