Question

如圖，四邊形OABC為矩形，以點(diǎn)O為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，點(diǎn)C在x軸的正半軸上，點(diǎn)A在y軸的正半軸上，已知點(diǎn)B為（2，4），反比例函數(shù)y=

m

x

圖象經(jīng)過AB的中點(diǎn)D，且與BC交于點(diǎn)E．
（1）求m的值和點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（2）求直線DE的解析式；
（3）點(diǎn)Q為x軸上一點(diǎn)，點(diǎn)P為反比例函數(shù)y=

m

x

圖象上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P、Q，使得以P、Q、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)以及點(diǎn)B為（2，4），求得D的坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)y=

m

x

中，即可求得m的值，令x=4，即可求得E的坐標(biāo)；
（2）依據(jù)D、E的坐標(biāo)聯(lián)立方程，應(yīng)用待定系數(shù)法即可求得；
（3）根據(jù)題意得出P的縱坐標(biāo)為-3，代入反比例函數(shù)的解析式即可求得．

解答：解：（1）∵四邊形OABC為矩形，點(diǎn)B為（2，4），
∴AB=2，BC=4，
∵D是AB的中點(diǎn)，
∴D（1，4），
∵反比例函數(shù)y=

m

x

圖象經(jīng)過AB的中點(diǎn)D，
∴4=

m

1

，m=4，
∴反比例函數(shù)為y=

4

x

，
令x=2，則y=2，
∴E的坐標(biāo)（2，2）；
（2）∵D（1，4），E（2，1），
設(shè)直線DE的解析式為y=kx+b，
∴

k+b=4 2k+b=2

，解得

k=-2 b=6

，
∴直線DE的解析式為y=-2x+6；

（3）存在；
∵D（1，4），E（2，2），以P、Q、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，
∴PQ∥DE，且PQ=DE，
∵Q的縱坐標(biāo)為0，
∴P的縱坐標(biāo)為±2，
令y=2，則2=

4

x

，解得x=2，
令y=-2，則-2=

4

x

，解得x=-2，
∵E（2，2），
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，-2）．

點(diǎn)評(píng)：本題是反比例函數(shù)的綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法的應(yīng)用以及平行四邊形的性質(zhì)等．