Question

【題目】如圖，已知拋物線（b、c是常數(shù)，且c＜0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－1,0)．

（1）b＝______，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為_______（上述結(jié)果均用含c的代數(shù)式表示）；

（2）連結(jié)BC，過點(diǎn)A作直線AE//BC，與拋物線交于點(diǎn)E．點(diǎn)D是x軸上一點(diǎn)，坐標(biāo)為(2,0)，當(dāng)C、D、E三點(diǎn)在同一直線上時，求拋物線的解析式；

（3）在（2）的條件下，點(diǎn)P是x軸下方的拋物線上的一動點(diǎn)，連結(jié)PB、PC．設(shè)△PBC的面積為S．①求S的取值范圍；②若△PBC的面積S為正整數(shù)，則這樣的△PBC共有_____個．

Answer 1

【答案】（1）b=+c；B的橫坐標(biāo)為-2c；（2）拋物線的解析式為y=x2-x-2；（3）11.

【解析】試題本題是二次函數(shù)的綜合題，其中涉及到運(yùn)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，直線平移的規(guī)律，求兩個函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，三角形的面積，一元二次方程的根的判別及根與系數(shù)的關(guān)系等知識，綜合性較強(qiáng)，有一定難度，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論及方程思想是解題的關(guān)鍵.

（1）將A（-1，0）代入y=x2+bx+c，可以得出b=+c；根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得出-1xB=，即xB=-2c；

（2）由y=x2+bx+c，求出此拋物線與y軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，c），則可設(shè)直線BC的解析式為y=kx+c，將B點(diǎn)坐標(biāo)代入，運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式為y=x+c；由AE∥BC，設(shè)直線AE得到解析式為y=x+m，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入，運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線AE得到解析式為y=x+；解方程組，求出點(diǎn)E坐標(biāo)為（1-2c，1-c），將點(diǎn)E坐標(biāo)代入直線CD的解析式y=-x+c，求出c=-2，進(jìn)而得到拋物線的解析式為y=x2-x-2；

（3）①分兩種情況進(jìn)行討論：（Ⅰ）當(dāng)-1＜x＜0時，由0＜S＜S△ACB，易求0＜S＜5；（Ⅱ）當(dāng)0＜x＜4時，過點(diǎn)P作PG⊥x軸于點(diǎn)G，交CB于點(diǎn)F．設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，x2-x-2），則點(diǎn)F坐標(biāo)為（x，x-2），PF=PG-GF=-x2+2x，S=PFOB=-x2+4x=-（x-2）2+4，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出S最大值=4，即0＜S≤4，則0＜S＜5；

②由0＜S＜5，S為整數(shù)，得出S=1，2，3，4．分兩種情況進(jìn)行討論：（Ⅰ）當(dāng)-1＜x＜0時，根據(jù)△PBC中BC邊上的高h小于△ABC中BC邊上的高AC=，得出滿足條件的△PBC共有4個；（Ⅱ）當(dāng)0＜x＜4時，由于S=-x2+4x，根據(jù)一元二次方程根的判別式，得出滿足條件的△PBC共有7個；則滿足條件的△PBC共有4+7=11個．

試題解析：（1）b=c+，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為-2c．

（2）由y=x2+（c+）x+c=（x+1）（x+2c），設(shè)E（x，（x+1）（x+2c））．

如圖1，過點(diǎn)E作EH⊥x軸于H．

由于OB=2OC，當(dāng)AE//BC時，AH=2EH．

所以x+1=（x+1）（x+2c）．因此x=1-2c．所以E（1-2c，1-c）．

當(dāng)C、D、E三點(diǎn)在同一直線上時，．所以=．

整理，得2c2＋3c-2=0．解得c=-2或c=（舍去）．

所以拋物線的解析式為y=x2-x-2．

（3）①當(dāng)P在BC下方時，過點(diǎn)P作x軸的垂線交BC于F，如圖2．

直線BC的解析式為y=x-2．

設(shè)P（m，m2-m-2），那么P（m，m-2），FP=-m2+2m．

所以S△PBC=S△PBF＋S△PCF=FP（xB-xC）=2FP=-m2+4m=-（m-2）2+4．

因此當(dāng)P在BC下方時，△PBC的最大值為4．

當(dāng)P在BC上方時，因為S△ABC=5，所以S△PBC＜5．

綜上所述，0＜S＜5．

②若△PBC的面積S為正整數(shù)，則這樣的△PBC共有11個．