【題目】如圖,在正方形ABCD中,對角線ACBD交于點O,在RtPFE中,∠EPF=90°,點E、F分別在邊ADAB上.

1)如圖1,若點P與點O重合:①求證:AF=DE;②若正方形的邊長為2,當∠DOE=15°時,求線段EF的長;

2)如圖2,若RtPFE的頂點P在線段OB上移動(不與點O、B重合),當BD=3BP時,證明:PE=2PF

【答案】1)①證明見解析,②;(2)證明見解析.

【解析】

1)①根據(jù)正方形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可證得:AOF≌△DOE根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明;

②作OGABG,根據(jù)余弦的概念求出OF的長,根據(jù)勾股定理求值即可;

2)首先過點PHPBDAB于點H,根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)求出PEPF的數(shù)量關系.

1)①證明:∵四邊形ABCD是正方形,

OA=OD,∠OAF=ODE=45°,∠AOD=90°,

∴∠AOE+DOE=90°

∵∠EPF=90°,

∴∠AOF+AOE=90°

∴∠DOE=AOF,

AOFDOE中,

,

∴△AOF≌△DOE,

AF=DE;

②解:過點OOGABG,

∵正方形的邊長為2,

OG=BC=

∵∠DOE=15°,AOF≌△DOE,

∴∠AOF=15°,

∴∠FOG=45°-15°=30°,

OF==2

EF=;

2)證明:如圖2,過點PHPBDAB于點H

HPB為等腰直角三角形,∠HPD=90°,

HP=BP,

BD=3BP,

PD=2BP,

PD=2HP

又∵∠HPF+HPE=90°,∠DPE+HPE=90°,

∴∠HPF=DPE

又∵∠BHP=EDP=45°,

∴△PHF∽△PDE

,

PE=2PF

練習冊系列答案
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1)本次參加抽樣調(diào)查的居民有多少人?

2)將兩幅不完整的圖補充完整;

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①求關于的函數(shù)關系式;

②該手機店購進型、型手機各多少部,才能使銷售總利潤最大?

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