Question

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，以AB為直徑⊙O交BC于點(diǎn)E，D為AC中點(diǎn)，EF⊥AB于點(diǎn)F．過(guò)A作AK∥DE交⊙O于K，交BC于H，交EF于G．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）已知EG=2GF，OG=2，求△AKB的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定

專(zhuān)題：數(shù)形結(jié)合

分析：（1）首先連接AE，OE，由以AB為直徑⊙O交BC于點(diǎn)E，D為AC中點(diǎn)，易得AD=DE，又由OA=OE，可得∠OED=∠CAB=90°，即可證得DE是⊙O的切線；
（2）易得四邊形ADEG是菱形，由EG=2GF，可得△OAE是等邊三角形，繼而求得線段AK與BK的長(zhǎng)，則可求得△AKB的面積．

解答：（1）證明：連接AE，OE，
∵AB是⊙O直徑，
∴∠AEB=90°，
∴∠CEA=180°-∠AEB=180°-90°=90°，
∵點(diǎn)D位AC中點(diǎn)，
∴DE=AD，
∴∠DAE=∠DEA，
∵OE=OA，
∴∠OEA=∠OAE，
∴∠OEA+∠DEA=∠OAE+∠DAE，
∴∠OED=∠BAC=90°，
∴DE⊥OE，
∴DE是⊙O的切線．

（2）解：∵∠BAC=90°，EF⊥AB，
∴AD∥EF，
∵DE∥AK，
∴四邊形ADEG是平行四邊形，
∵AD=ED，
∴四邊形ADEG是菱形，
∴AG=EG=2GF，
∴在Rt△AGF中，sin∠GAF=

GF

AG

=

1

2

，
∴∠GAF=30°，
∵DE∥AK，OE⊥DE，
∴AK⊥OE，
∴∠AOE=90°-30°=60°，
∵OE=OA，
∴△OEA是等邊三角形，
∵點(diǎn)G在AK上，AK⊥OE，
∴EG=OG=2，
∴AG=EG=2，
∴AF=2×cos30°=

3

，
∴OA=2AF=2

3

，
∴AB=2OA=4

3

，
∴AK=4

3

×cos30°=6，BK=AB•sin30°=2

3

，
∴S_△ABK=

1

2

AK•BK=6

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識(shí)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．