【題目】如圖1,E為邊長為1的正方形ABCD中CD邊上的一動(dòng)點(diǎn)(不含點(diǎn)C、D),以BE為邊作圖中所示的正方形BEFG.
(1)求∠ADF的度數(shù);
(2)如圖2,若BF交AD于點(diǎn)H,連接EH,求證:HB平分∠AHE;
(3)如圖3,連接AE、CG,作BM⊥AE于點(diǎn)M,BM交GC于點(diǎn)N,連接DN.當(dāng)E在CD上運(yùn)動(dòng)時(shí),求證:NC=NG.
【答案】
(1)解:如圖1,
過點(diǎn)F作FG⊥DG交CD的延長線于G,
∴∠EFG+∠FEG=90°,
∵∠FEG+∠BEC=90°,
∴∠EFG=∠BEC,
在△BCE和△EGF中, ,
∴△BCE≌△EGF,
∴BC=EG
∴EG=BC=CD
∴DG=CE=FG
∴△FDG為等腰直角三角形
∴∠FDA=45°
(2)解:如圖2,
延長EC至M,且使CM=AH,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB=BC,∠BAH=∠BCM=90°,
在△ABH和△BCM中,
∴△ABH≌△CBM(SAS),
∴∠AHB=∠CMB,BH=BM,
∵BE是正方形BEFG的對角線,
∴∠EBH=45°,
∴∠ABH+∠CBE=45°,
∴∠EBM=∠CBM+∠CBE=45°,
∴∠EBH=∠MBE,
在△BEH和△BEM中,
∴△BEH≌△BEM(SAS)
∴∠BHE=∠BME,
∵∠AHB=∠CMB,
∴∠AHB=∠BHE,
∴HB平分∠AHE
(3)解:如圖3,
過點(diǎn)C作CP⊥BM于P,過點(diǎn)G作GQ⊥BM于Q,
∵∠ABM+∠CBM=90°,∠BCP+∠CBM=90°
∴∠ABM=∠BCP,
在△CPB和△BMA中, ,
∴△CPB≌△BMA,
∴CP=BM,
同理:△BQG≌△EMB,
∴GQ=BM,
∴CP=GQ=BM
在△CPN和△GQN中,
∴△CPN≌△GQN(AAS)
∴NC=NG
【解析】(1)先利用同角的余角相等得∠EFG=∠BEC,從而判斷出△BCE≌△EGF,即可EG=BC=CD進(jìn)而得出△FDG為等腰直角三角形即可;(2)同(1)的方法判斷△ABH≌△CBM,△BEH≌△BEM進(jìn)而得出∠AHB=∠BHE即可;(3)同(1)的方法判斷△CPB≌△BMA,△BQG≌△EMB,進(jìn)而得CP=GQ=BM,又得△CPN≌△GQN得出NC=NG。
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解余角和補(bǔ)角的特征的相關(guān)知識,掌握互余、互補(bǔ)是指兩個(gè)角的數(shù)量關(guān)系,與兩個(gè)角的位置無關(guān).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,∠EAD=∠BAF
(1)試說明:△CEF為等腰三角形;
(2)猜測CE與CF的和與□ABCD的周長有何關(guān)系,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,菱形ABCD在第一象限內(nèi),邊BC與x軸平行,A,B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為3,1,反比例函數(shù)y= 的圖象經(jīng)過A,B兩點(diǎn),則菱形ABCD的面積為( )
A.2
B.4
C.2
D.4
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB∥CD,CF平分∠ECD,HC⊥CF交直線AB于H,AG平分∠HAE交HC于G,EJ∥AG交CF于J,∠AEC=80°,則下列結(jié)論正確的有( 。﹤(gè).
①∠BAE+∠ECD=80°;②CG平分∠ICE;③∠AGC=140°;④∠EJC﹣∠AGH=90°.
A.1B.2C.3D.4
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知平面直角坐標(biāo)系中,A點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣4,4),B(﹣4,0)C(1,3),解答下列各題:
(1)按題中所給坐標(biāo)在圖中畫出△ABC并直接寫出△ABC的面積;
(2)畫出△ABC先向右平移5個(gè)單位長度再向下平移3個(gè)單位長度的△A'B'C',并直接寫出A',B′,C'的坐標(biāo);
(3)直接寫出△ABC按照(2)問要求平移到△A'B'C'的過程中,△ABC所掃過的圖形的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=﹣ x2+bx+e與x軸交于點(diǎn)A(﹣3,0)、點(diǎn)B(9,0),與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為D,連接AD、DB,點(diǎn)P為線段AD上一動(dòng)點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖1,過點(diǎn)P作BD的平行線,交AB于點(diǎn)Q,連接DQ,設(shè)AQ=m,△PDQ的面積為S,求S關(guān)于m的函數(shù)解析式,以及S的最大值;
(3)如圖2,拋物線對稱軸與x軸交與點(diǎn)G,E為OG的中點(diǎn),F(xiàn)為點(diǎn)C關(guān)于DG對稱的對稱點(diǎn),過點(diǎn)P分別作直線EF、DG的垂線,垂足為M、N,連接MN,直接寫出△PMN為等腰三角形時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)如圖1,在四邊形中,,、分別是、的中點(diǎn),連接并延長,分別與、的延長線交于點(diǎn)、,證明:.
請將證明的過程填寫完整:
證明:連接,取的中點(diǎn),連接、.
是的中點(diǎn),是的中點(diǎn),
________,_______,同理:_______,_______,
,,
又,,,.
(2)運(yùn)用上題方法解決下列問題:
問題一:如圖2,在四邊形中,與相交于點(diǎn),,、分別是、的中點(diǎn),連接,分別交、于點(diǎn)、,請判斷的形狀,并說明理由;
問題二:如圖3,在鈍角中,,點(diǎn)在上,、分別是、的中點(diǎn),連接并延長,與的延長線交于點(diǎn),連接,若,是直角三角形且,求證:.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為弘揚(yáng)中華傳統(tǒng)文化,黔南州近期舉辦了中小學(xué)生“國學(xué)經(jīng)典大賽”.比賽項(xiàng)目為:A.唐詩;B.宋詞;C.論語;D.三字經(jīng).比賽形式分“單人組”和“雙人組”.
(1)小麗參加“單人組”,她從中隨機(jī)抽取一個(gè)比賽項(xiàng)目,恰好抽中“三字經(jīng)”的概率是多少?
(2)小紅和小明組成一個(gè)小組參加“雙人組”比賽,比賽規(guī)則是:同一小組的兩名隊(duì)員的比賽項(xiàng)目不能相同,且每人只能隨機(jī)抽取一次,則恰好小紅抽中“唐詩”且小明抽中“宋詞”的概率是多少?請用畫樹狀圖或列表的方法進(jìn)行說明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】問題情境:如圖1,AB∥CD,∠PAB=130°,∠PCD=120°,求∠APC的度數(shù).
小明的思路是:過P作PE∥AB,通過平行線性質(zhì)來求∠APC.
(1)按小明的思路,易求得∠APC的度數(shù)為_____度;
(2)問題遷移:如圖2,AB∥CD,點(diǎn)P在射線OM上運(yùn)動(dòng),記∠PAB=α,∠PCD=β,當(dāng)點(diǎn)P在B、D兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí),問∠APC與α、β之間有何數(shù)量關(guān)系?請說明理由;
(3)在(2)的條件下,如果點(diǎn)P在B、D兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)(點(diǎn)P與點(diǎn)O、B、D三點(diǎn)不重合),請直接寫出∠APC與α、β之間的數(shù)量關(guān)系.
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