【題目】問題情境:如圖1,ABCD,PAB=130°,PCD=120°,求∠APC的度數(shù).

小明的思路是:過PPEAB,通過平行線性質(zhì)來求∠APC.

(1)按小明的思路,易求得∠APC的度數(shù)為_____度;

(2)問題遷移:如圖2,ABCD,點P在射線OM上運動,記∠PAB=α,PCD=β,當點PB、D兩點之間運動時,問∠APCα、β之間有何數(shù)量關系?請說明理由;

(3)(2)的條件下,如果點PB、D兩點外側運動時(點P與點O、B、D三點不重合),請直接寫出∠APCα、β之間的數(shù)量關系.

【答案】(1)110°.(2)APC=α+β,(3)當PBD延長線上時,CPA=αβ;當PDB延長線上時,CPA=βα

【解析】

試題(1)過點PPEAB,則有PEABCD,根據(jù)兩直線平行,同旁內(nèi)角互補得到∠A+APE=180°,∠C+CPE=180°,再根據(jù)∠APC=APE+CPE和已知∠APE和∠CPE度數(shù)即可求出∠APC的角度。(2)過PPEABACE,則有ABPECD,進而得到∠α=APE,∠β=CPE,再根據(jù)∠APC=APE+CPE,即可用α、β來表示∠APC的度數(shù);(3)根據(jù)題意畫出圖形,當PBD延長線上時,PPEABACE,則有ABPECD,可得到∠CPA=β﹣∠α,當如圖所示,當PDB延長線上時,PPEABACE,則有ABPECD,可得到∠CPA=β﹣∠α;

試題解析:

(1)解:過點P作PEAB,

ABCD,

PEABCD,

∴∠A+APE=180°,C+CPE=180°,

∵∠PAB=130°,PCD=120°,

∴∠APE=50°,CPE=60°,

∴∠APC=APE+CPE=110°.

(2)APC=α+β,

理由:如圖2,過P作PEAB交AC于E,

ABCD,

ABPECD,

∴∠α=APE,β=CPE,

∴∠APC=APE+CPE=α+β;

(3)如圖所示,當P在BD延長線上時,

CPA=α﹣β;

如圖所示,當P在DB延長線上時,

CPA=β﹣α.

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