Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，AD和過(guò)點(diǎn)C的切線(xiàn)互相垂直，垂足為D．

（1）求證：；

（2）若，，求CD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）連接OC，根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)，判斷出AD∥OC，再應(yīng)用平行線(xiàn)的性質(zhì)，即可推得．

(2)連接BC，通過(guò)證明△ADC△ACB，可求出AD的長(zhǎng)，再在Rt△ADC中，通過(guò)勾股定理可求出CD的長(zhǎng).

解：（1）證明：如圖，連接OC，
，
∵CD是⊙O的切線(xiàn)，
∴OC⊥CD．
∵AD⊥CD，
∴AD∥OC，
∴∠DAC=∠ACO．
∵OA=OC，
∴∠CAB=∠ACO，
∴∠DAC=∠CAB.
(2)如圖，連接BC

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°.

∵AD⊥CD，

∴∠ADC=90°.

∴∠ADC=∠ACB.

由（1）知∠DAC=∠CAB，

∴△ADC△ACB.

∴.

∵，,則可設(shè)AD=2x,AB=3x,x>0,

∴.

解得x=2.

∴AD=4.

在Rt△ADC中，由勾股定理，得CD==.