Question

如圖，已知菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=8，過線段BD上的一個動點P（不與B、D 重合）分別向直線AB、AD作垂線，垂足分別為E、F．
（1）BD的長是

8

3

；
（2）連接PC，當(dāng)PE+PF+PC取得最小值時，此時PB的長是

4

3

．

Answer 1

分析：（1）連接AC，交BD與點O，因為菱形ABCD中，∠ABC=60°，可知△ABC為等邊三角形，AC=AB=8，根據(jù)菱形性質(zhì)求出AO長，OB=OD，AC⊥BD，根據(jù)勾股定理求出BO，即可求出BD；
（2）延長FP交BC于點M，F(xiàn)M⊥BC．根據(jù)角平分線的性質(zhì)求得PM=PE，由菱形的面積求得FM的長度，所以要使PE+PF+PC取最小值，只要PC取最小值．當(dāng)CP⊥BD，即點P與點O重合時，PE+PF+PC的值最小，求出此時PB的長即可．

解答：解：（1）連接AC，交BD與點O，

∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴△ABC為等邊三角形，AC=AB=8，
根據(jù)菱形性質(zhì)得：AO=CO=

1

2

AC=4，OB=OD，AC⊥BD，
根據(jù)勾股定理得：BD=2OB=2×

82-42

=8

3

；

（2）延長FP交BC于點M，則FM⊥BC．

∵PM=PE，
∴PE+PF=PF+PM=FM，
又∵S_菱形ABCD=

1

2

AC•BD=BC•FM，
∴

1

2

×8×8

3

=8•FM，即FM=4

3

，
∴要使PE+PF+PC取最小值，只要PC取最小值．
當(dāng)CP⊥BD，即點P與點O重合時，PE+PF+PC的值最小．
此時PB=BO=DO=

1

2

BD=4

3

．
故答案為：8

3

；4

3

．

點評：本題考查菱形的性質(zhì)，第一問的解題關(guān)鍵是利用菱形的性質(zhì)得出△ABC為等邊三角形；第二問的解題關(guān)鍵是利用軸對稱的性質(zhì)得出PE+PF=PF+PM=FM，此題有一定的難度．