Question

【題目】如圖1（注：與圖2完全相同），二次函數(shù)y= x2+bx+c的圖象與x軸交于A（3，0），B（﹣1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求該二次函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)該拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為D，求△ACD的面積（請(qǐng)?jiān)趫D1中探索）；
（3）若點(diǎn)P，Q同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，都以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度分別沿AB，AC邊運(yùn)動(dòng)，其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P，Q運(yùn)動(dòng)到t秒時(shí)，△APQ沿PQ所在的直線(xiàn)翻折，點(diǎn)A恰好落在拋物線(xiàn)上E點(diǎn)處，請(qǐng)直接判定此時(shí)四邊形APEQ的形狀，并求出E點(diǎn)坐標(biāo)（請(qǐng)?jiān)趫D2中探索）．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵二次函數(shù)y= x2+bx+c的圖象與x軸交于A（3，0），B（﹣1，0），

∴ ，

解得： ，

∴y= x2﹣ x﹣4

（2）

解：過(guò)點(diǎn)D作DM⊥y軸于點(diǎn)M，

∵y= x2﹣ x﹣4= （x﹣1）2﹣ ，

∴點(diǎn)D（1，﹣ ）、點(diǎn)C（0，﹣4），

則S△ACD=S梯形AOMD﹣S△CDM﹣S△AOC

= ×（1+3）× ﹣ ×（ ﹣4）×1﹣ ×3×4

=4；

（3）

解：四邊形APEQ為菱形，E點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣ ，﹣ ）．理由如下

如圖2，E點(diǎn)關(guān)于PQ與A點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，過(guò)點(diǎn)Q作，QF⊥AP于F，

∵AP=AQ=t，AP=EP，AQ=EQ

∴AP=AQ=QE=EP，

∴四邊形AQEP為菱形，

∵FQ∥OC，

∴ = = ，

∴ = =

∴AF= t，F(xiàn)Q= t

∴Q（3﹣ t，﹣ t），

∵EQ=AP=t，

∴E（3﹣ t﹣t，﹣ t），

∵E在二次函數(shù)y= x2﹣ x﹣4上，

∴﹣ t= （3﹣ t）2﹣ （3﹣ t）﹣4，

∴t= ，或t=0（與A重合，舍去），

∴E（﹣ ，﹣ ）

【解析】（1）將A，B點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)y= x2+bx+c中，求得b、c，進(jìn)而可求解析式；（2）由解析式先求得點(diǎn)D、C坐標(biāo)，再根據(jù)S△ACD=S梯形AOMD﹣S△CDM﹣S△AOC ， 列式計(jì)算即可；（3）注意到P，Q運(yùn)動(dòng)速度相同，則△APQ運(yùn)動(dòng)時(shí)都為等腰三角形，又由A、E對(duì)稱(chēng)，則AP=EP，AQ=EQ，易得四邊形四邊都相等，即菱形．利用菱形對(duì)邊平行且相等的性質(zhì)可用t表示E點(diǎn)坐標(biāo)，又E在E函數(shù)上，所以代入即可求t，進(jìn)而E可表示．本題考查了二次函數(shù)性質(zhì)、利用勾股定理解直角三角形及菱形等知識(shí)，總體來(lái)說(shuō)題意復(fù)雜但解答內(nèi)容都很基礎(chǔ)，熟練地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．