Question

如圖1，在梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，已知AB=5，BC=6，cosB=

3

5

．點O為線段BC上的動點，連接OD，以O(shè)為圓心，OB為半徑的⊙O分別交線段AB、OD于點P、M，交射線BC于點N，連接AC、MN，AC交線段OD于點E．
（1）求梯形對角線AC的長．
（2）如圖2，當(dāng)點O在線段BC上運動到使⊙O與對角線AC相切時，求⊙O的半徑OB．
（3）如圖3，當(dāng)點O在線段BC上運動到使⊙O與線段BC的延長線交于點N時，以C為圓心，CN為半徑作⊙C，則⊙C與⊙O相內(nèi)切，求⊙C的半徑CN的最大值．
（4）在點O在線段BC上運動的過程中，是否存在MN∥AC的情況？若存在，求出⊙O的半徑OB；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）過點A作AH⊥BC于點H．先由AB及cosB求得BH，再求得AH、HC，則AC的長也可求出．
（2）由△OCG∽△ACH得

OC

AC

=

OG

AH

，設(shè)OB=r，OC=6-r，代入可求得r的值．
（3）當(dāng)點O在線段BC上運動到使P、A重合時，⊙C的半徑CN最大．過點O作OF⊥AB于點F，先在△OBF中求得OB的長，再由BC求得OC的長，則CN的長即可求出．
（4）在點O在線段BC上運動的過程中，不存在MN∥AC的情況．可假設(shè)MN∥AC，用反證法證得矛盾．

解答：解：（1）如圖1，
過點A作AH⊥BC于點H．
∵在直角△ABH中，cosB=

3

5

．
∴

BH

AB

=

3

5

，
∵AB=5．
∴BH=3AH=4．
∵BC=6，
∴CH=3．
∵AH⊥BC，DC⊥BC，
∴AH∥DC．
∵AD∥BC，
∴四邊形AHCD是矩形．
∴AD=CH=3，DC=AH=4．
∴AC=5．

（2）如圖2，連接OG．
∵⊙O與對角線AC相切，
∴OG⊥AC．∴△OCG∽△ACH．
∴

OC

AC

=

OG

AH

．
設(shè)OB=r，則OC=6-r．
∴

6-r

5

=

r

4

．∴r=

8

3

，即OB=

8

3

．

（3）如圖3，
當(dāng)點O在線段BC上運動到使P、A重合時，⊙C的半徑CN最大．
過點O作OF⊥AB于點F．
∵OA=OB，AB=5，
∴BF=

5

2

．
∵cosB=

3

5

，
∴

BF

OB

=

3

5

．
∴OB=

25

6

．
∴ON=

25

6

．
∵BC=6，
∴OC=6-

25

6

=

11

6

．
∴CN=ON-OC=

25

6

-

11

6

=

7

3

．

（4）如圖4，
在點O在線段BC上運動的過程中，不存在MN∥AC的情況．
理由：假設(shè)MN∥AC，則

OM

OE

=

ON

OC

．
∵OM=ON，
∴OC=OE．
∵AD∥OC，
∴

AD

OC

=

DE

OE

．
∴AD=DE．
∵AD=3，
∴DE=3．
設(shè)OB=r，則OC=OE=6-r，OD=OE+ED=6-r+3=9-r．
∵在直角△OCD中，OC²+CD²=OD²．
∴4²+（6-r）²=（9-r）²．
∴r=

29

6

．
∵△OBP∽△ABC，
∴

OB

AB

=

BP

BC

．
∴

r

5

=

BP

6

．
∴BP=

6

5

r=

6

5

×

29

6

=

29

5

＞AB=5．
∴與點P在AB上矛盾．
∴在點O在線段BC上運動的過程中，不存在MN∥AC的情況．

點評：本題考查了相似三角形的判定及性質(zhì)及勾股定理的應(yīng)用，綜合性強，難度較大，同學(xué)們要細心作答．