【題目】如圖,直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)B(a,0),點(diǎn)C(0,b),點(diǎn)A在第一象限.若a,b滿足(a﹣t)2+|b﹣t|=0(t>0).
(1)證明:OB=OC.
(2)如圖1,連接AB,過A作AD⊥AB交y軸于D,在射線AD上截取AE=AB,連接CE,F是CE的中點(diǎn),連接AF,OA,當(dāng)點(diǎn)A在第一象限內(nèi)運(yùn)動(dòng)(AD不過點(diǎn)C)時(shí),證明:∠OAF的大小不變.
(3)如圖2,B′與B關(guān)于y軸對稱,M在線段BC上,N在CB′的延長線上,且BM=NB′,連接MN交x軸于點(diǎn)T,過T作TQ⊥MN交y軸于點(diǎn)Q,求點(diǎn)Q的坐標(biāo).
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)Q(0,-t).
【解析】
(1)利用平方和絕對值的非負(fù)數(shù)性質(zhì)即可用t表示出a、b,即可得B、C坐標(biāo),進(jìn)而可得答案;(2)如圖,延長AF到點(diǎn)P,使PF=AF;連接CP、OP、OF,利用SAS可證明△AEF≌△PCF,可得AE=PC=AB,∠AEF=∠PCF,AE∥PC,由平行線的性質(zhì)可得∠PCO=∠CDA=180-∠ADO,利用四邊形內(nèi)角和可得∠ABO=180-∠ADO,即可證明∠PCO=∠ABO,利用SAS可證明△PCO≌△ABO,可得OP=OA,∠POC=∠AOB,利用角的和差關(guān)系可得∠AOP=∠BOC=90°,即可證明△AOP為等腰直角三角形,可得∠OAF=45°,是定值;(3)過N作NP∥MB,交x軸于P;連接NQ、MQ、BQ、B′Q,由軸對稱性質(zhì)可得BB′=2OB,BC=B′C,可得△BCB′是等腰直角三角形,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)可得∠B′PN=∠PB′N,即可證明NP=NB′=MB,利用AAS可證明△PTN≌△BTM,可得NT=MT,利用SSS可證明△BQM≌△B′QN,可得∠NB′Q=∠MBQ,利用SAS可證明△BCQ≌△B′CQ,可得△OBQ為等腰直角三角形,可得OQ=OB,即可求出Q點(diǎn)坐標(biāo).
(1)∵(a-t)≥0,|b-t|≥0,
∴a-t=0,b-t=0,
解得:a=t,b=t
∴B(t,0)、C(0,t)
∴OB=OC
(2)如圖,延長AF到點(diǎn)P,使PF=AF;連接CP、OP、OF,
在△AEF和△PCF中,
∴△AEF≌△PCF,
∴AE=PC=AB,∠AEF=∠PCF
∴AE∥PC,∠PCO=∠CDA=180-∠ADO
四邊形ABOD中,∠ABO=360-∠BOD-∠BAD-∠ADO,
∵∠BOD=90°,AD⊥AB,
∴∠ABO=180-∠ADO,
∴∠PCO=∠ABO
在△PCO和△ABO中,
∴△PCO≌△ABO,
∴OP=OA,∠POC=∠AOB
∴∠AOP=∠BOC-∠AOB+∠POC=∠BOC=90°,
∴△AOP為等腰直角三角形,
∴∠OAF=45°,是定值,不發(fā)生改變.
(3)過N作NP∥MB,交X軸于P;連接NQ、MQ、BQ、B′Q,
由(1)得△BOC是等腰直角三角形
∵B、B′關(guān)于y軸對稱,
∴BB′=2OB,BC=B′C,
∴△BCB′是等腰直角三角形,∠BB′C=∠B′BC=45°,
∵NP∥MB,
∴∠B′PN=∠B′BC=45°,
∵∠PB′N=∠BB′C=45°,
∴∠B′PN=∠PB′N,
∴NP=NB′=MB
在△PTN和△BTM中,,
∴△PTN≌△BTM,NT=MT,T為MN中點(diǎn),
∵QT⊥MN,
∴QT為MN垂直平分線,
∴MQ=NQ
∵B、B′關(guān)于y軸對稱,Q在y軸上,
∴BQ=B′Q
在△BQM≌△B′QN中,,
∴△BQM≌△B′QN(SSS),
∴∠NB′Q=∠MBQ,
在△BCQ和△B′CQ中,
∴△BCQ≌△B′CQ,
∴∠MBQ=∠CB′Q=∠NB′Q,
∵∠CB′Q+∠NB′Q=180°,
∴∠NB′Q=∠MBQ=90°,
∴∠OBQ=45°,
∴△OBQ為等腰直角三角形,
∴OQ=OB=t
∴Q(0,-t).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,A、B兩點(diǎn)分別位于一個(gè)池塘的兩端,小明想用繩子測量A、B間的距離,但繩子不夠長.他叔叔幫他出了一個(gè)這樣的主意:先在地上取一個(gè)可以直接到達(dá)A點(diǎn)和B點(diǎn)的點(diǎn)C,連接AC并延長到D,使CD=AC;連接BC并延長到E,使CE=CB;連接DE并測量出它的長度.
(1)DE=AB嗎?請說明理由;
(2)如果DE的長度是8 m,則AB的長度是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,OB和OC分別平分∠ABC和∠ACB,過O作DE∥BC,分別交AB、AC于點(diǎn)D、E,若DE=5,BD=3,則線段CE的長為( 。
A. 3 B. 1 C. 2 D. 4
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠ABC=90°,D是邊AC上的一點(diǎn),連接BD,使∠A=2∠1,E是BC上的一點(diǎn),以BE為直徑的⊙O經(jīng)過點(diǎn)D.
(1)求證:AC是⊙O的切線;
(2)若∠A=60°,⊙O的半徑為2,求陰影部分的面積.(結(jié)果保留根號和π)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)如圖1,點(diǎn)在線段上,,,點(diǎn),分別是線段,的中點(diǎn).求線段的長;
(2)點(diǎn)在線段上,若,點(diǎn),分別是線段,的中點(diǎn).你能得出的長度嗎?并說明理由.
(3)類似的,如圖2,是直角,射線在外部,且是銳角,是的平分線,是的平分線.當(dāng)的大小發(fā)生改變時(shí),的大小也會(huì)發(fā)生改變嗎?為什么?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀:在用尺規(guī)作線段等于線段時(shí),小明的具體做法如下:
已知:如圖,線段.
求作:線段,使得線段.
作法: ① 作射線;
② 在射線上截取.
∴線段為所求.
解決下列問題:
已知:如圖,線段.
(1)請你仿照小明的作法,在上圖中的射線上作線段,使得;(不要求寫作法和結(jié)論,保留作圖痕跡)
(2)在(1)的條件下,取的中點(diǎn).若,求線段的長.(要求:第(2)問重新畫圖解答)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,,,過點(diǎn)畫軸的垂線,點(diǎn)在線段上,連結(jié)并延長交直線于點(diǎn),過點(diǎn)畫交直線于點(diǎn).
(1)求的度數(shù),并直接寫出直線的解析式;
(2)若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,求的長;
(3)當(dāng)時(shí),求點(diǎn)的坐標(biāo).
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【題目】我們常用的數(shù)是十進(jìn)制,十進(jìn)制數(shù)要用10個(gè)數(shù)碼:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9如十進(jìn)制3245=3×103+2×102+4×101+5×100在電子計(jì)算機(jī)中用的是二進(jìn)制,只要2個(gè)數(shù)碼:0和1.如二進(jìn)制110=1×22+1×21+0×20,相當(dāng)于十進(jìn)制數(shù)中的6;二進(jìn)制110101=1×25+1×24+0×23+1×22+0×21+1×20,相當(dāng)于十進(jìn)制數(shù)中的53.(注意:非零有理數(shù)的零次冪都為1即a°=(a≠0))
(1)二進(jìn)制中的1011等于十進(jìn)制中的數(shù)是_____;
(2)十進(jìn)制中的100等于二進(jìn)制中的數(shù)是_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在某校組織的“交通安全宣傳教育月”活動(dòng)中,八年級數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)進(jìn)行了如下的課外實(shí)踐活動(dòng).具體內(nèi)容如下:在一段筆直的公路上選取兩點(diǎn)A、B,在公路另一側(cè)的開闊地帶選取一觀測點(diǎn)C,在C處測得點(diǎn)A位于C點(diǎn)的南偏西45°方向,且距離為100米,又測得點(diǎn)B位于C點(diǎn)的南偏東60°方向.已知該路段為鄉(xiāng)村公路,限速為60千米/時(shí),興趣小組在觀察中測得一輛小轎車經(jīng)過該路段用時(shí)13秒,請你幫助他們算一算,這輛小車是否超速?(參考數(shù)據(jù):≈1.41,≈1.73,計(jì)算結(jié)果保留兩位小數(shù))
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