Question

【題目】如圖，已知拋物線y=﹣ x2+bx+c交x軸于點(diǎn)A（2，0）、B（一8，0），交y軸于點(diǎn)C，過點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)的⊙M與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D．

（1）求此拋物線的表達(dá)式及圓心M的坐標(biāo)；
（2）設(shè)P為弧BC上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），連接AP交y軸于點(diǎn)N，請問：APAN是否為定值，若是，請求出這個(gè)值；若不是，請說明理由；
（3）延長線段BD交拋物線于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)F是線段BE上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接AF．動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AF以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)F，再沿線段FB以每秒 個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B后停止，問當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn)Q在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過裎中所用時(shí)間最少？

Answer 1

【答案】
（1）

解：拋物線解析式為y=﹣ （x+8）（x﹣2），

即y=﹣ x2﹣ x+4；

當(dāng)x=0時(shí)，y=﹣ x2﹣ x+4=4，則C（0，4）

∴BC=4 ，AC=2 ，AB=10，

∵BC2+AC2=AB2，

∴△ABC為直角三角形，且∠ACB=90°，

∴AB為直徑，

∴圓心M點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣3，0）

（2）

解：以APAN為定值．理由如下：

如圖1，

∵AB為直徑，

∴∠APB=90°，

∵∠APB=∠AON，∠NAO=∠BAP，

∴△APB∽△AON．

∴AN：AB=AO：AP，

∴ANAP=ABAO=20，

所以APAN為定值，定值是20

（3）

解：∵AB⊥CD，

∴OD=OC=4，則D（0，﹣4），

易得直線BD的解析式為y=﹣ x﹣4，

過F點(diǎn)作FG⊥x軸于G，如圖2，

∵FG∥OD，

∴△BFG∽△BDO，

∴ = ，即 = = = ，

∴點(diǎn)Q沿線段FB以每秒 個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B所用時(shí)間

等于點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到G點(diǎn)的時(shí)間，

∴當(dāng)AF+FG的值最小時(shí)，點(diǎn)Q在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過裎中所用時(shí)間最少，

作∠EBI=∠ABE，BI交y軸于I，

作FH⊥BI于H，則FH=FG，

∴AF+FG=AF+FH，

當(dāng)點(diǎn)A、F、H共線時(shí)，AF+FH的值最小，此時(shí)AH⊥BI，如圖2，

作DK⊥BI，垂足為K，

∵BE平分∠ABI，

∴DI=DO=4，

設(shè)DI=m，

∵∠DIK=∠BIO，

∴△IDK∽△IBO，

∴ = = = ，

∴BI=2m，

在Rt△OBI中，82+（4+m）2=（2m）2，解得m1=4（舍去），m2= ，

∴I（0，﹣ ），

設(shè)直線BI的解析式為y=kx+n，

把B（﹣8，0），I（0，﹣ ）代入得 ，解得 ，

∴直線BI的解析式為y=﹣ x﹣ ，

∵AH⊥BI，

∴直線AH的解析式可設(shè)為y= x+q，

把A（2，0）代入得 +q=0，解得q=﹣ ，

∴直線AH的解析式為y= x﹣ ，

解方程組 ，解得 ，

∴F（﹣2，﹣3），

即當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)是（﹣2，﹣3）時(shí)，點(diǎn)Q在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過裎中所用時(shí)間最少．

【解析】（1）利用交點(diǎn)式可寫出拋物線解析式為y=﹣ x2﹣ x+4，再求出C點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用勾股定理的逆定理證明△ABC為直角三角形，且∠ACB=90°，則根據(jù)圓周角定理的推論可判斷AB為直徑，從而得到圓心M點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）如圖1，利用圓周角定理得到∠APB=90°，則可證明△APB∽△AON．然后利用相似比可得到ANAP=20，即APAN為定值；（3）先根據(jù)垂徑定理得到OD=OC=4，則D（0，﹣4），易得直線BD的解析式為y=﹣ x﹣4，過F點(diǎn)作FG⊥x軸于G，如圖2，通過證明△BFG∽△BDO得到 = = ，則點(diǎn)Q沿線段FB以每秒 個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B所用時(shí)間等于點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到G點(diǎn)的時(shí)間，于是判斷當(dāng)AF+FG的值最小時(shí)，點(diǎn)Q在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過裎中所用時(shí)間最少，作∠EBI=∠ABE，BI交y軸于I，作FH⊥BI于H，則FH=FG，當(dāng)點(diǎn)A、F、H共線時(shí)，AF+FH的值最小，此時(shí)AH⊥BI，如圖2，作DK⊥BI，垂足為K，設(shè)DI=m，證明△IDK∽△IBO得到BI=2m，
則利用勾股定理得到82+（4+m）2=（2m）2 ， 解得m1=4（舍去），m2= ，從而得到I（0，﹣ ），接下來利用待定系數(shù)法確定直線BI的解析式為y=﹣ x﹣ ，再確定直線AH的解析式，然后求直線BE和AH的交點(diǎn)坐標(biāo)即可．