Question

觀察一列數(shù)：a₁=3，a₂=9，a₃=27，a₄=81…發(fā)現(xiàn)從第二個(gè)數(shù)開始，后一個(gè)數(shù)與前一個(gè)數(shù)之比是一個(gè)常數(shù)．
（1）這個(gè)常數(shù)是

 

，根據(jù)此規(guī)律，如果a_n（n為正整數(shù)）表示這列數(shù)的第n個(gè)數(shù)，那么a₆=

 

，a_n=

 

．（可用冪的形式表示）
（2）如果想求1+2+2²+2³+…+2¹⁰的值，可令S₁₀=1+2+2²+2³+…+2¹⁰ ①
將①式兩邊同乘以2，得

 

 ②
由②減①式，得S_n=

 

 ③
若①中一列數(shù)共有20個(gè)數(shù)，設(shè)S₂₀=3+9+27+81+…+a₂₀，請(qǐng)利用上述規(guī)律和方法計(jì)算S₂₀的值；
（3）設(shè)一列數(shù)1，

1

2

，

1

4

，

1

8

…，

1

2n-1

的和為S_n，則S_n的值為

 

．（寫出求值過程）

Answer 1

考點(diǎn)：規(guī)律型：數(shù)字的變化類

專題：

分析：（1）根據(jù)題意，可得在這個(gè)數(shù)列中，從第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)之比是3；由第一個(gè)數(shù)為3，故可得a₆，a_n的值；
（2）根據(jù)題中的提示，可得S的值，類比可以求出S₂₀；
（3）由（2）的方法，可以求出S_n．

解答：解：（1）每一項(xiàng)與前一項(xiàng)之比是一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)是3，
則a₆=3⁶，a_n=3ⁿ；
（2）∵S₁₀=1+2+2²+2³+…+2¹⁰，
∴2S₁₀=2+2²+2³+…+2¹¹②，
∴S₁₀=2¹¹-1．
設(shè)S₂₀=3+9+27+81+…+3²⁰，
則3S₂₀=9+27+81+…+3²¹，
2S₂₀=3²¹-3，
S₂₀=

321-3

2

．
（3）設(shè)S_n=1+

1

2

+

1

4

+

1

8

+…+

1

2n-1

，
則2S_n=2+1+

1

2

+

1

4

+

1

8

+…+

1

2n-1

+

1

2n

，
因此S_n=

1

2n

+2．

點(diǎn)評(píng)：此題考查數(shù)字的變化規(guī)律，利用類比的方法找出數(shù)字之間的運(yùn)算規(guī)律，進(jìn)一步解決問題．