【題目】如圖,正方形ABCD,AB=6,點E在邊CD上,CE=2DE,將△ADE沿AE對折至△AFE,延長EF交邊BC于點G,連接AG、CF,下列結(jié)論:①△ABG≌△AFG;②BG=GC;③EG=DE+BG;④AG∥CF;⑤S△FCA=3.6,其中正確結(jié)論是_____.
【答案】①②③④⑤.
【解析】先計算出DE=2,EC=4,再根據(jù)折疊的性質(zhì)AF=AD=6,EF=ED=2,∠AFE=∠D=90°,∠FAE=∠DAE,然后根據(jù)“HL”可證明Rt△ABG≌Rt△AFG,則GB=GF,∠BAG=∠FAG,所以∠GAE=∠BAD=45°;GE=GF+EF=BG+DE;設(shè)BG=x,則GF=x,CG=BC﹣BG=6﹣x,在Rt△CGE中,根據(jù)勾股定理得(6﹣x)2+42=(x+2)2,解得x=3,則BG=CG=3,則點G為BC的中點;同時得到GF=GC,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠GFC=∠GCF,再由Rt△ABG≌Rt△AFG得到∠AGB=∠AGF,然后根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠BGF=∠GFC+∠GCF,易得∠AGB=∠GCF,根據(jù)平行線的判定方法得到CF∥AG;過F作FH⊥DC,則△EFH∽△EGC,△EFH∽△EGC,由相似比為,可計算S△FGC.根據(jù)同底等高的三角形的面積相等即可得到結(jié)論.
解:∵正方形ABCD的邊長為6,CE=2DE,
∴DE=2,EC=4,
∵把△ADE沿AE折疊使△ADE落在△AFE的位置,
∴AF=AD=6,EF=ED=2,∠AFE=∠D=90°,∠FAE=∠DAE,
在Rt△ABG和Rt△AFG中,AB=AE,AG=AG,
∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL),
∴GB=GF,∠BAG=∠FAG,
∴∠GAE=∠FAE+∠FAG=∠BAD=45°,所以①正確;
設(shè)BG=x,則GF=x,C=BC﹣BG=6﹣x,
在Rt△CGE中,GE=x+2,EC=4,CG=6﹣x,
∵CG2+CE2=GE2,
∴(6﹣x)2+42=(x+2)2,解得x=3,
∴BG=3,CG=6﹣3=3
∴BG=CG,所以②正確;
∵EF=ED,GB=GF,
∴GE=GF+EF=BG+DE,所以③正確;
∵GF=GC,
∴∠GFC=∠GCF,
又∵Rt△ABG≌Rt△AFG,
∴∠AGB=∠AGF,
而∠BGF=∠GFC+∠GCF,
∴∠AGB+∠AGF=∠GFC+∠GCF,
∴∠AGB=∠GCF,
∴CF∥AG,所以④正確;
過F作FH⊥DC
∵BC⊥DH,
∴FH∥GC,
∴△EFH∽△EGC,
∴=,
EF=DE=2,GF=3,
∴EG=5,
∴△EFH∽△EGC,
∴相似比為: =,
∴S△FGC=S△GCE﹣S△FEC=×3×4﹣×4×(×3)==3.6,
連接AC,
∵CF∥AG,
∴S△FCA=S△FGC=3.6,
所以⑤正確.
故正確的有①②③④⑤,
故答案為:①②③④⑤.
“點睛”本題考查了折疊的性質(zhì):折疊是一種對稱變換,它屬于軸對稱,折疊前后圖形的形狀和大小不變,位置變化,對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等.也考查了三角形全等的判定與性質(zhì),勾股定理和正方形的性質(zhì).
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【題目】如圖,矩形的對角線,相交于點,將沿所在直線折疊,得到.
(1)求證:四邊形是菱形;
(2)若,當(dāng)四邊形是正方形時,等于多少?
(3)若,,是邊上的動點,是邊上的動點,那么的最小值是多少?
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【題目】某游泳館普通票價20元/張,暑假為了促銷,新推出兩種優(yōu)惠卡:
①金卡售價600元/張,每次憑卡不再收費.
②銀卡售價150元/張,每次憑卡另收10元.
暑假普通票正常出售,兩種優(yōu)惠卡僅限暑假使用,不限次數(shù).設(shè)游泳x次時,所需總費用為y元.
(1)分別寫出選擇銀卡、普通票消費時,y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)在同一坐標(biāo)系中,若三種消費方式對應(yīng)的函數(shù)圖象如圖所示,請求出點A、B、C的坐標(biāo);
(3)請根據(jù)函數(shù)圖象,直接寫出選擇哪種消費方式更合算.
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【題目】如圖1,已知△BAD和△BCE均為等腰直角三角形,∠BAD=∠BCE=90°,點M為DE的中點.過點E與AD平行的直線交射線AM于點N.
(1)當(dāng)A,B,C三點在同一直線上時(如圖1),求證:M為AN的中點;
(2)將圖1中△BCE繞點B旋轉(zhuǎn),當(dāng)A,B,E三點在同一直線上時(如圖2),求證:△CAN為等腰直角三角形;
(3)將圖1中△BCE繞點B旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時,(2)中的結(jié)論是否仍然成立?若成立,試證明之;若不成立,請說明理由.
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【題目】小明在學(xué)習(xí)過程中,對教材中的一個有趣問題做如下探究:
(習(xí)題回顧)已知:如圖1,在△ABC中,∠ACB=90°,AE是角平分線,CD是高,AE、CD相交于點F.求證:∠CFE=∠CEF;
(變式思考)如圖2,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB邊上的高,若△ABC的外角∠BAG的平分線交CD的延長線于點F,其反向延長線與BC邊的延長線交于點E,則∠CFE與∠CEF還相等嗎?說明理由;
(探究廷伸)如圖3,在△ABC中,在AB上存在一點D,使得∠ACD=∠B,角平分線AE交CD于點F.△ABC的外角∠BAG的平分線所在直線MN與BC的延長線交于點M.試判斷∠M與∠CFE的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
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【題目】如圖,已知函數(shù)y=(x>0)的圖象經(jīng)過點A、B,點B的坐標(biāo)為(2,2).過點A作AC⊥x軸,垂足為C,過點B作BD⊥y軸,垂足為D,AC與BD交于點F.一次函數(shù)y=ax+b的圖象經(jīng)過點A、D,與x軸的負(fù)半軸交于點E
(1)若AC=OD,求a、b的值;
(2)若BC∥AE,求BC的長.
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【題目】如圖,某辦公樓AB的后面有一建筑物CD,當(dāng)光線與地面的夾角是22°時,辦公樓在建筑物的墻上留下高3米的影子CE,而當(dāng)光線與地面夾角是45°時,辦公樓頂A在地面上的影子F與墻角C有27米的距離(B,F,C在一條直線上).
(1)求辦公樓AB的高度;
(2)若要在A,E之間掛一些彩旗,請你求出A,E之間的距離.
(參考數(shù)據(jù):sin22°≈,cos22°≈,tan22°≈)
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【題目】如圖,△ABC在正方形網(wǎng)格中,若A(0,3),按要求回答下列問題
(1)在圖中建立正確的平面直角坐標(biāo)系;
(2)根據(jù)所建立的坐標(biāo)系,寫出B和C的坐標(biāo);
(3)計算△ABC的面積.
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【題目】作圖:
(1)如圖甲,以點O為中心,把點P順時針旋轉(zhuǎn)45°;
(2)如圖乙,以點O為中心,把線段AB逆時針旋轉(zhuǎn)90°;
(3)如圖丙,以點O為中心,把△ABC順時針旋轉(zhuǎn)120°;
(4)如圖丁,以點B為中心,把△ABC旋轉(zhuǎn)180°.
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