【題目】小明在學(xué)習(xí)過程中,對教材中的一個有趣問題做如下探究:

(習(xí)題回顧)已知:如圖1,在ABC中,∠ACB=90°,AE是角平分線,CD是高,AECD相交于點(diǎn)F.求證:∠CFE=CEF;

(變式思考)如圖2,在ABC中,∠ACB=90°,CDAB邊上的高,若ABC的外角∠BAG的平分線交CD的延長線于點(diǎn)F,其反向延長線與BC邊的延長線交于點(diǎn)E,則∠CFE與∠CEF還相等嗎?說明理由;

(探究廷伸)如圖3,在ABC中,在AB上存在一點(diǎn)D,使得∠ACD=B,角平分線AECD于點(diǎn)FABC的外角∠BAG的平分線所在直線MNBC的延長線交于點(diǎn)M.試判斷∠M與∠CFE的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.

【答案】1)證明見解析;(2)∠CEF=CFE,證明見解析;(3)∠M+CFE=90°,證明見解析.

【解析】

[習(xí)題回顧]根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)證明;

[變式思考]根據(jù)角平分線的定義、直角三角形的性質(zhì)解答;

[探究廷伸】同(1)、(2)的方法相同.

[習(xí)題回顧]證明:∵∠ACB=90°,CD是高,

∴∠B+CAB=90°,∠ACD+CAB=90°,

∴∠B=ACD

AE是角平分線,

∴∠CAF=DAF

∵∠CFE=CAF+ACDCEF=DAF+B,

∴∠CEF=CFE;

[變式思考]CEF=CFE

證明:∵AF為∠BAG的角平分線,

∴∠GAF=DAF,

CDAB邊上的高,

∴∠ACB=90°,

∴∠ADF=ACE=90°

又∵∠CAE=GAF,

∴∠CEF=CFE;

[探究思考]M+CFE=90°

證明:∵C、AG三點(diǎn)共線 , AEAN為角平分線,

∴∠EAN=90°

∴∠M+CEF=90°,

∵∠CEF=EAB+B,∠CFE=EAC+ACD,∠ACD=B,

∴∠CEF=CFE,

∴∠M+CFE=90°

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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【題目】為宣傳66日世界海洋日,某校九年級舉行了主題為珍惜海洋資源,保護(hù)海洋生物多樣性的知識競賽活動.為了解全年級500名學(xué)生此次競賽成績(百分制)的情況,隨機(jī)抽取了部分參賽學(xué)生的成績,整理并繪制出如下不完整的統(tǒng)計表(表1)和統(tǒng)計圖(如圖).表1知識競賽成績分組統(tǒng)計表

組別

分?jǐn)?shù)/

頻數(shù)

10

14

18

請根據(jù)圖表信息解答以下問題:

1)本次調(diào)查一共隨機(jī)抽取了________個參賽學(xué)生的成績,表1________;

2)所抽取的參賽學(xué)生的成績的中位數(shù)落在的組別________

3)請你估計,該校九年級競賽成績達(dá)到80分以上(含80分)的學(xué)生約多少人?

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【題目】如圖,將直角三角形ABC沿AB方向平移得到直角三角形DEF,已知BE=3,BE=3,FG=1,AC=5,則圖中陰影部分的面積為(

A.10B.13.5C.20D.9.5

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【題目】如圖,在△ABC中,AC=BC=1,∠C=90°E、FAB上的動點(diǎn),且∠ECF=45°,分別過E、FBC、AC的垂線,垂足分別為H、G,兩垂線交于點(diǎn)M

1)當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時,請直接寫出MHAC的數(shù)量關(guān)系 ;

2)探索AFEF、BE之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;

3)以C為坐標(biāo)原點(diǎn),以BC所在的直線為x軸,建立直角坐標(biāo)系,請畫出坐標(biāo)系并利用(2)中的結(jié)論證明

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+1經(jīng)過點(diǎn)(2,6),且與直線y=x+1相交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)A在y軸上,過點(diǎn)B作BC⊥x軸,垂足為點(diǎn)C(4,0).

(1)求拋物線的解析式;

(2)若P是直線AB上方該拋物線上的一個動點(diǎn),過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D,交AB于點(diǎn)E,求線段PE的最大值;

(3)在(2)的條件,設(shè)PC與AB相交于點(diǎn)Q,當(dāng)線段PC與BE相互平分時,請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,正方形ABCD,AB=6,點(diǎn)E在邊CD上,CE=2DE,將△ADE沿AE對折至△AFE,延長EF交邊BC于點(diǎn)G,連接AG、CF,下列結(jié)論:①△ABG≌△AFG;②BG=GC;③EG=DE+BG;④AG∥CF;⑤S△FCA=3.6,其中正確結(jié)論是_____

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】學(xué)習(xí)了統(tǒng)計知識后,小剛就本班同學(xué)的三種上學(xué)方式進(jìn)行了一次全面調(diào)查,每位同 學(xué)選擇其中一種方式,圖①和圖②是他通過收集數(shù)據(jù)后,繪制的兩幅不完整的統(tǒng)計 圖:

請你根據(jù)以上信息解答下列問題:

1)該班共有多少名學(xué)生?

2)在扇形圖中,騎車上學(xué)的人數(shù)占全班總?cè)藬?shù)的百分比是多少?

3)在條形圖中,將表示步行上學(xué)方式的部分補(bǔ)充完整;

4)如果全年級共 500 名學(xué)生,請你估計全年級步行上學(xué)的學(xué)生有多少人.

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【題目】學(xué)校某社團(tuán)為了調(diào)查同學(xué)們上學(xué)時所使用交通工具的情況,隨機(jī)抽取了部分同學(xué)進(jìn)行調(diào)查,要求調(diào)查者從“:公交車”“:家庭汽車”“:地鐵”“:自行車”“:其他”五個選項中選擇最常用的一項,將所有調(diào)查結(jié)果整理后繪制成如圖所示的不完整條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖,請結(jié)合統(tǒng)計圖解答下列問題:

1)表示組的扇形統(tǒng)計圖所對應(yīng)的圓心角是________度,補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖;

2)若社團(tuán)想從組的甲、乙,丙、丁四人中隨機(jī)選擇兩人,了解他們使用的電動車品牌情況,請用列表或畫樹狀圖的方法求出恰好選中乙的概率.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】【發(fā)現(xiàn)證明】

如圖1,點(diǎn)E,F分別在正方形ABCD的邊BCCD上,∠EAF=45°,試判斷BEEF,FD之間的數(shù)量關(guān)系.

小聰把ABE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°ADG,通過證明AEF≌△AGF;從而發(fā)現(xiàn)并證明了EF=BE+FD

【類比引申】

1)如圖2,點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊CB、CD的延長線上,∠EAF=45°,連接EF,請根據(jù)小聰?shù)陌l(fā)現(xiàn)給你的啟示寫出EF、BE、DF之間的數(shù)量關(guān)系,并證明;

【聯(lián)想拓展】

2)如圖3,如圖,∠BAC=90°,AB=AC,點(diǎn)EF在邊BC上,且∠EAF=45°,若BE=3,EF=5,求CF的長.

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