【題目】已知,如圖1,BD是邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD的對(duì)角線,BE平分∠DBC交DC于點(diǎn)E,延長(zhǎng)BC到點(diǎn)F,使CF=CE,連接DF,交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.
(1)求證:△BCE≌△DCF;
(2)求CF的長(zhǎng);
(3)如圖2,在AB上取一點(diǎn)H,且BH=CF,若以BC為x軸,AB為y軸建立直角坐標(biāo)系,問(wèn)在直線BD上是否存在點(diǎn)P,使得以B、H、P為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形?若存在,直接寫出所有符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.
【答案】(1)見解析;(2)﹣1;(3)所有符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為(2﹣,2﹣)、(﹣2+,﹣2+)、(﹣1,﹣1)、(,).
【解析】
試題分析:(1)利用正方形的性質(zhì),由全等三角形的判定定理SAS即可證得△BCE≌△DCF;
(2)通過(guò)△DBG≌△FBG的對(duì)應(yīng)邊相等知BD=BF=;然后由CF=BF﹣BC=即可求得;
(3)分三種情況分別討論即可求得.
【解答】(1)證明:如圖1,
在△BCE和△DCF中,
,
∴△BCE≌△DCF(SAS);
(2)證明:如圖1,
∵BE平分∠DBC,OD是正方形ABCD的對(duì)角線,
∴∠EBC=∠DBC=22.5°,
由(1)知△BCE≌△DCF,
∴∠EBC=∠FDC=22.5°(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等);
∴∠BGD=90°(三角形內(nèi)角和定理),
∴∠BGF=90°;
在△DBG和△FBG中,
,
∴△DBG≌△FBG(ASA),
∴BD=BF,DG=FG(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等),
∵BD==,
∴BF=,
∴CF=BF﹣BC=﹣1;
(3)解:如圖2,∵CF=﹣1,BH=CF
∴BH=﹣1,
①當(dāng)BH=BP時(shí),則BP=﹣1,
∵∠PBC=45°,
設(shè)P(x,x),
∴2x2=(﹣1)2,
解得x=2﹣或﹣2+,
∴P(2﹣,2﹣)或(﹣2+,﹣2+);
②當(dāng)BH=HP時(shí),則HP=PB=﹣1,
∵∠ABD=45°,
∴△PBH是等腰直角三角形,
∴P(﹣1,﹣1);
③當(dāng)PH=PB時(shí),∵∠ABD=45°,
∴△PBH是等腰直角三角形,
∴P(,),
綜上,在直線BD上是否存在點(diǎn)P,使得以B、H、P為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形,所有符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為(2﹣,2﹣)、(﹣2+,﹣2+)、(﹣1,﹣1)、(,).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】【問(wèn)題背景】
(1)如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”,請(qǐng)說(shuō)明;
【簡(jiǎn)單應(yīng)用】
(2)閱讀下面的內(nèi)容,并解決后面的問(wèn)題:如圖2, AP、CP分別平分∠BAD. ∠BCD,若∠ABC=36°,∠ADC=16°,求∠P的度數(shù);
解:∵AP、CP分別平分∠BAD. ∠BCD
∴∠1=∠2,∠3=∠4
由(1)的結(jié)論得:
①+②,得2∠P+∠2+∠3=∠1+∠4+∠B+∠D
∴∠P = (∠B+∠D)=26°.
【問(wèn)題探究】如圖3,直線AP平分∠BAD的外角∠FAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE,若∠ABC=36°,∠ADC=16°,請(qǐng)猜想的度數(shù),并說(shuō)明理由.
【拓展延伸】
① 在圖4中,若設(shè)∠C=α,∠B=β,∠CAP=∠CAB,∠CDP=∠CDB,試問(wèn)∠P與∠C、∠B之間的數(shù)量關(guān)系為:________________(用α、β表示∠P),
②在圖5中,AP平分∠BAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE,猜想∠P與∠B、∠D的關(guān)系,直接寫出結(jié)論______________________
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在Rt△ABC中,斜邊長(zhǎng)BC=3,AB2+AC2+BC2的值為( 。
A. 18 B. 9 C. 6 D. 無(wú)法計(jì)算
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】我國(guó)古代《算法統(tǒng)宗》里這樣一首詩(shī):我問(wèn)開店李三公,眾客都來(lái)到店中,一房七客多七客,一房九客一房空.詩(shī)中后兩句的意思是:如果每一間客房住7人,那么有7人無(wú)房可;如果每一間客房住9人,那么就空出一間房.
(1)求該店有客房多少間?房客多少人?
(2)假設(shè)店主李三公將客房進(jìn)行改造后,房間數(shù)大大增加.每間客房收費(fèi)20錢,且每間客房最多入住4人,一次性定客房18間以上(含18間),房費(fèi)按8折優(yōu)惠.若詩(shī)中“眾客”再次一起入住,他們?nèi)绾斡喎扛纤悖?/span>
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知水星的半徑約為24 400 000米,用科學(xué)記數(shù)法表示為( )
A. 0.244 × l08米 B. 2.44×106米 C. 2.44×107米 D. 24.4×106米
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