Question

【題目】已知：線段CB=6，點A在線段BC上，且CA=2，以AB為直徑做半圓O，點D為半圓O上的動點，以CD為邊向外作等邊△CDE．
（1）發(fā)現(xiàn)：CD的最小值是 ， 最大值是 ， △CBD面積的最大值是 ．
（2）思考：如圖1，當線段CD所在直線與半圓O相切時，求弧BD的長．
（3）探究：如圖2，當線段CD與半圓O有兩個公共點D，M時，若CM=DM，求等邊△CDE面積．

Answer 1

【答案】
（1）2；6；6
（2）解：連接OD，

∵線段CD所在直線與半圓O相切，

∴OD⊥CD，

∵OC=4，OD=2，

∴∠C=30°，

∴∠COD=60°，

∴∠BOD=120°，

∴弧BD的長為： = π

（3）解：∵CM=DM，

∴CD=2CM，

由切割線定理得，CMCD=CACB=12，

解得，CM= ，

則CD=2 ，

∴等邊△CDE面積為： ×2 ×2 ×sin60°=6

【解析】解：（1）發(fā)現(xiàn)：當點D與點A重合時，CD最小，CD的最小值是2， 當點D與點B重合時，CD最大，CD的最大值是6，
當OD⊥CB時，CD最小，△CBD的面積最大，最大值為： ×6×2=6，
故答案為：2；6；6；
發(fā)現(xiàn)：根據圓的性質、三角形的面積公式計算；
思考：連接OD，根據切線的性質得到OD⊥CD，根據直角三角形的性質求出∠C，得到∠BOD，根據弧長公式計算即可；
探究：根據切割線定理求出CD，根據等邊三角形的面積公式計算即可．