Question

【題目】閱讀下列材料： 如圖1，圓的概念：在平面內(nèi)，線段PA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的圖形叫做圓．就是說，到某個(gè)定點(diǎn)等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)在同一個(gè)圓上，圓心在P（a，b），半徑為r的圓的方程可以寫為：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2 ， 如：圓心在P（2，﹣1），半徑為5的圓方程為：（x﹣2）2+（y+1）2=25

（1）填空： ①以A（3，0）為圓心，1為半徑的圓的方程為；
②以B（﹣1，﹣2）為圓心， 為半徑的圓的方程為 ．
（2）根據(jù)以上材料解決下列問題： 如圖2，以B（﹣6，0）為圓心的圓與y軸相切于原點(diǎn)，C是⊙B上一點(diǎn)，連接OC，作BD⊥OC垂足為D，延長(zhǎng)BD交y軸于點(diǎn)E，已知sin∠AOC= ．

①連接EC，證明EC是⊙B的切線；
②在BE上是否存在一點(diǎn)P，使PB=PC=PE=PO？若存在，求P點(diǎn)坐標(biāo)，并寫出以P為圓心，以PB為半徑的⊙P的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）（x﹣3）2+y2=1；（x+1）2+（y+2）2=3
（2）解：①證明：∵BD⊥OC，

∴CD=OD，

∴BE垂直平分OC，

∴EO=EC，

∴∠EOC=∠ECO，

∵BO=BC，

∴∠BOC=∠BCO，

∴∠EOC+∠BOC=∠ECO+∠BCO，

∴∠BOE=∠BCE=90°，

∴BC⊥CE，

∴EC是⊙B的切線；

②存在．

∵∠BOE=∠BCE=90°，

∴點(diǎn)C和點(diǎn)O偶在以BE為直徑的圓上，

∴當(dāng)P點(diǎn)為BE的中點(diǎn)時(shí)，滿足PB=PC=PE=PO，

∵B點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣6，0），

∴OB=6，

∵∠AOC+∠DOE=90°，∠DOE+∠BEO=90°，

∴∠BEO=∠AOC，

∴sin∠BEO=sin∠AOC= ，

在Rt△BOE中，sin∠BEO= ，

∴ = ，

∴BE=10，

∴OE= =8，

∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（0，8），

∴線段AB的中點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣3，4），PB=5，

∴以P（﹣3，4）為圓心，以5為半徑的⊙P的方程為（x+3）2+（y﹣4）2=25．

【解析】（1）解：①以A（3，0）為圓心，1為半徑的圓的方程為（x﹣3）2+y2=1； ②以B（﹣1，﹣2）為圓心， 為半徑的圓的方程為（x+1）2+（y+2）2=3；
故答案為（x﹣3）2+y2=1；（x+1）2+（y+2）2=3；
（1）根據(jù)閱讀材料中的定義求解；（2）①根據(jù)垂徑定理由BD⊥OC得到CD=OD，則BE垂直平分OC，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得EO=EC，則∠EOC=∠ECO，加上∠BOC=∠BCO，易得∠BOE=∠BCE=90°，然后根據(jù)切線的判定定理得到EC是⊙B的切線；②由∠BOE=∠BCE=90°，根據(jù)圓周角定理得點(diǎn)C和點(diǎn)O偶在以BE為直徑的圓上，即當(dāng)P點(diǎn)為BE的中點(diǎn)時(shí)，滿足PB=PC=PE=PO，利用同角的余角相等得∠BOE=∠AOC，則sin∠BOE=sin∠AOC= ，在Rt△BOE中，利用正弦的定義計(jì)算出BE=10，利用勾股定理計(jì)算出OE=8，則E點(diǎn)坐標(biāo)為（0，8），于是得到線段AB的中點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣3，4），PB=5，然后寫出以P（﹣3，4）為圓心，以5為半徑的⊙P的方程．