Question

如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)F，交⊙O于點(diǎn)D，E是△ABC內(nèi)心，連BE．
（1）求證：ED=DC；
（2）若∠BAC=60°，AB=11，AC=7，求AD的長．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心

專題：證明題

分析：（1）如圖1，由AD平分∠BAC交⊙O于D得∠1=∠2，根據(jù)圓周角定理得

BD

=

CD

，則BD=CD，再利用E是△ABC內(nèi)心得∠3=∠4，然后證明∠BED=∠DBE，根據(jù)等腰三角形的判定得到BD=ED，即ED=DC；
（2）作CQ⊥AB于Q，連結(jié)OB，連結(jié)OD交BC于H，如圖2，在Rt△ACQ中根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得AQ=

7

2

，CQ=

7 3

2

，則BQ=AB-AQ=

15

2

；在Rt△BCQ中，根據(jù)勾股定理計(jì)算出BC=2

93

，根據(jù)垂徑定理的推論，由

BD

=

CD

得OD⊥BC，BH=CH=

1

2

BC=

93

，再證明△OBD為等邊三角形，計(jì)算出OH=

31

，OB=2

31

，BD=2

31

，DH=

31

；接著根據(jù)角平分線定理得到

BF

CF

=

AB

AC

，可計(jì)算出BF=

11 3

9

，則HF=BF-BH=

2 93

9

，然后在Rt△DHF中，利用勾股定理計(jì)算出DF=

31 3

9

，最后證明△DBF∽△DAB，利用相似比計(jì)算出AD．

解答：（1）證明：如圖1，
∵AD平分∠BAC交⊙O于D，
∴∠1=∠2，
∴

BD

=

CD

，
∴BD=CD，
∵E是△ABC內(nèi)心，
∴BE平分∠ABC，
∴∠3=∠4，
∵∠BED=∠1+∠3，
∵∠1=∠5，
∴∠DBE=∠4+∠5，
即∠BED=∠DBE，
∴BD=ED，
∴ED=DC；
（2）解：作CQ⊥AB于Q，連結(jié)OB，連結(jié)OD交BC于H，如圖2，
在Rt△ACQ中，∵∠CAQ=60°，AC=7，
∴AQ=

7

2

，CQ=

7 3

2

，
∴BQ=AB-AQ=

15

2

，
在Rt△BCQ中，BC=

CQ2+BQ2

=2

93

，
∵

BD

=

CD

，
∴OD⊥BC，
∴BH=CH=

1

2

BC=

93

，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=

1

2

∠BAC=30°，
∴∠BOD=2∠BAD=60°，
∴△OBD為等邊三角形，
在Rt△OBH中，OH=

3

3

BH=

31

，
∴OB=2OH=2

31

，
∴BD=2

31

，DH=

31

，
∵AD平分∠BAC，
∴

BF

CF

=

AB

AC

=

11

7

，即

BF

BF+CF

=

11

11+7

，
∴BF=

11

18

BC=

11

18

•2

93

=

11 3

9

，
∴HF=BF-BH=

2 93

9

，
在Rt△DHF中，DF=

HF2+DH2

=

31 3

9

，
∵∠DBF=∠DAB，∠FDB=∠BDA，
∴△DBF∽△DAB，
∴DF：BD=BD：AD，即

31 3

9

：2

31

=2

31

：AD，
∴AD=12

3

．

點(diǎn)評：本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形．三角形的內(nèi)心就是三角形三個(gè)內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)．也考查了勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)和含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．