Question

如圖，長(zhǎng)方形ABCD中AD∥BC，邊AB=4，BC=8．將此長(zhǎng)方形沿EF折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，點(diǎn)C落在點(diǎn)G處．
（1）試判斷△BEF的形狀，并說明理由；
（2）求△BEF的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：翻折變換（折疊問題）

專題：

分析：（1）根據(jù)翻折不變性和平行線的性質(zhì)得到兩個(gè)相等的角，根據(jù)等角對(duì)等邊即可判斷△BEF是等腰三角形；
（2）根據(jù)翻折的性質(zhì)可得BE=DE，BG=CD，∠EBG=∠ADC=90°，設(shè)BE=DE=x，表示出AE=8-x，然后在Rt△ABE中，利用勾股定理列出方程求出x的值，即為BE的值，再根據(jù)同角的余角相等求出∠ABE=∠GBF，然后利用“角邊角”證明△ABE和△GBF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BF=BE，再根據(jù)三角形的面積公式列式計(jì)算即可得解．

解答：解：（1）△BEF是等腰三角形．
∵ED∥FC，
∴∠DEF=∠BFE，
根據(jù)翻折不變性得到∠DEF=∠BEF，
故∠BEF=∠BFE．
∴BE=BF．
△BEF是等腰三角形；
（2）∵矩形ABCD沿EF折疊點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，
∴BE=DE，BG=CD，∠EBG=∠ADC=90°，∠G=∠C=90°，
∵AB=CD，
∴AB=BG，
設(shè)BE=DE=x，則AE=AB-DE=8-x，
在Rt△ABE中，AB²+AE²=BE²，
即4²+（8-x）²=x²，
解得x=5，
∴BE=5，
∵∠ABE+∠EBF=∠ABC=90°，
∠GBF+∠EBF=∠EBG=90°，
∴∠ABE=∠GBF，
在△ABE和△MBF中，

∠ABE=∠GBF AB=BG ∠A=∠G

，
∴△ABE≌△GBF（ASA），
∴BF=BE=5，
∴△EBF的面積=

1

2

×5×4=10．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了翻折變換的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，全等三角形的判定與性質(zhì)．將翻折變換與勾股定理及等腰三角形的性質(zhì)和判定相結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)之間的密切聯(lián)系，是一道好題．