Question

已知a，b，c為有理數(shù)，且多項式x³+ax²+bx+c能夠被x²+3x-4整除．
（1）求4a+c的值；
（2）求2a-2b-c的值；
（3）若a，b，c為整數(shù)，且c≥a＞1，試比較a，b，c的大�。�

Answer 1

考點：整式的除法

專題：計算題

分析：（1）由于多項式x³+ax²+bx+c能被多項式x²+3x-4整除，則說明x²+3x-4=0，求出的x也能使x³+ax²+bx+c=0，從而得到關于a、b、c的兩個等式，對兩個等式變形，可得4a+c=12③；
（2）由③可得a=3-

c

4

④，把④代入①，可得b=-4-

3

4

c⑤，然后把④⑤同時代入2a-2b-c即可求值；
（3）由于c≥a＞1，又a=3-

c

4

，可知1＜3-

c

4

＜3，解即可求出c的范圍，但是a、c是大于1的正整數(shù)，且a=3-

c

4

，可求出c，從而求出a、b，比較大小即可．

解答：解：（1）根據(jù)題意得：x²+3x-4是x³+ax²+bx+c的一個因式，
∴x²+3x-4=0，即x=-4，x=1是方程x³+ax²+bx+c=0的解，
∴

a+b+c=-1① 16a-4b+c=64②

，
①×4+②得：4a+c=12③；

（2）由③得a=3-

c

4

，④
代入①得b=-4-

3

4

c⑤，
∴2a-2b-c=2（3-

c

4

）-2（-4-

3

4

c）-c=14；

（3）∵c≥a＞1，a=3-

c

4

＜c，
∴1＜3-

c

4

＜c，
解得：

12

5

≤c＜8，
∵a，c為大于1的正整數(shù)，
∴c=3，4，5，6，7，但a=3-

c

4

，a也是正整數(shù)，
∴c=4，a=2，b=-4-

3

4

c=-4-3=-7，
則c＞a＞b．

點評：此題考查的是整式的除法-多項式除以多項式，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．