Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，點(diǎn)D在邊AB上運(yùn)動(dòng)，DE平分∠BDC交邊BC于點(diǎn)E，EM⊥BD，垂足為N．
（1）當(dāng)∠CAD=∠ACD時(shí)，求證：DE∥AC；
（2）當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△BME與以C，N，E為頂點(diǎn)的三角形相似？求出此時(shí)AD的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）由相似三角形的判定得出△DEB∽△ACB，從而得出角的關(guān)系，再由∠CAD=∠ACD得到AD=CD，繼而得出BD與AB的關(guān)系，即可求的結(jié)論．
（2）此題分兩種情況求解，△BME∽△CNE或△BME∽△ENC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求得．

解答：（1）證明：∵∠DAC=∠DCA，
∴∠BDC=2∠DAC，
∵DE是∠BDC的平分線，
∴∠BDC=2∠BDE，
∴∠DAC=∠BDE，
∴DE∥AC，

（2）解：（I）當(dāng)△BME∽△CNE時(shí)，得∠MBE=∠NCE，
∴BD=DC，
∵DE平分∠BDC，
∴DE⊥BC，BE=EC，
又∠ACB=90°，
∴DE∥AC，
∴

BE

BC

=

BD

AB

即BD=

1

2

AB=

1

2

AC2+BC2

=5，
∴AD=5，
（II）當(dāng)△BME∽△ENC時(shí)，得∠EBM=∠CEN，
∴EN∥BD，
∵EN⊥CD，
∴BD⊥CD即CD是△ABC斜邊上的高，
由三角形面積公式得AB•CD=AC•BC，
∴CD=

24

5

，
∴AD=

AC2-CD2

=

18

5

，
綜上，當(dāng)AD=5或

18

5

時(shí)，△BME與△CNE相似．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)和勾股定理，解題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，要注意不規(guī)則圖形的面積的求解方法．