Question

【題目】如圖，拋物線y=mx+2mx-3m(m≠0)的頂點(diǎn)為H，與軸交于A、B兩點(diǎn)（B點(diǎn)在A點(diǎn)右側(cè)），點(diǎn)H、B關(guān)于直線l：對(duì)稱，過(guò)點(diǎn)B作直線BK∥AH交直線l于K點(diǎn)．

（1）求A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，并證明點(diǎn)A在直線I上。

（2）求此拋物線的解析式；

（3）將此拋物線向上平移，當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)K點(diǎn)時(shí)，設(shè)頂點(diǎn)為N，求出NK的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】(1) A(-3,0) B(1,0) ； (2)y=-x-x+； (3)NK=4

【解析】

（1）令y=0，解關(guān)于x的一元二次方程，即可得到點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；然后把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入直線l的解析式，計(jì)算即可證明點(diǎn)A在直線上；
（2）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得AH=AB，根據(jù)直線l的解析式求出直線l與x軸的夾角為30°，然后得到∠HAB的度數(shù)是60°，過(guò)點(diǎn)H作HC⊥x軸于點(diǎn)C，然后解直角三角形求出AC、HC，從而得到OC的長(zhǎng)度，然后寫出點(diǎn)H的坐標(biāo)，再把點(diǎn)H的坐標(biāo)代入拋物線解析式計(jì)算求出m的值，即可得解；
（3）根據(jù)平行直線的解析式的k值相等求出直線BK的解析式的k值，然后利用待定系數(shù)法求出直線BK的解析式，與直線l的解析式聯(lián)立求解得到點(diǎn)K的值，再利用拋物線解析式求出相應(yīng)橫坐標(biāo)上的點(diǎn)，從而求出拋物線向上移動(dòng)的距離，然后得到平移后的拋物線的頂點(diǎn)N的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算即可得到NK的值．

令y=0，則mx2+2mx-3m=0（m≠0），
解得x1=-3，x2=1，
∵B點(diǎn)在A點(diǎn)右側(cè)，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），

證明：∵直線l：

當(dāng)x=-3時(shí)，

∴點(diǎn)A在直線l上；

（2）∵點(diǎn)H、B關(guān)于過(guò)A點(diǎn)的直線l：對(duì)稱，

∴AH=AB=4，
設(shè)直線l與x軸的夾角為α，則

所以，∠α=30°，
∴∠HAB=60°，
過(guò)頂點(diǎn)H作HC⊥AB交AB于C點(diǎn)，
則

∴頂點(diǎn)H

代入拋物線解析式，得

解得m=-

所以，拋物線解析式為

（3）∵BK∥AH
∴直線BK的k=tan60°=
設(shè)直線BK的解析式為y=x+b，
∵B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），
∴+b=0，
解得b=-，
∴直線BK的解析式為y=x-

聯(lián)立

解得

∴點(diǎn)K的坐標(biāo)為（3，2 ），
當(dāng)x=3時(shí)，

∴平移后與點(diǎn)K重合的點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，-6 ），
平移距離為2-（-6）=8，
∵平移前頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，2），

2+8=10，
∴平移后頂點(diǎn)坐標(biāo)N（-1，10），

所以，NK的長(zhǎng)是4