Question

如圖，在等腰Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于點E，
（1）求證：BD+DE=AC；
（2）若AC=9cm，求△DBE的周長．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,角平分線的性質,等腰三角形的性質

專題：計算題

分析：（1）由AD為角平分線，且DE垂直于AB，DC垂直于AC，利用角平分線定理得到DE=DC，由CD+DB=BC，等量代換得到BD+DE=BC，再由C=AB，等量代換即可得證；
（2）由三角形ABC為等腰直角三角形，得到∠B=45°，得到三角形DEB為等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性質及勾股定理得到BD=

2

DE=

2

BE，根據（1）的結論求出DE與BD的長，即可確定出三角形DEB的周長．

解答：解：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE=DC，
∵AC=BC，BC=BD+DC，
∴DE+DC=AC；
（2）∵在等腰Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，
∴∠B=45°，
∴△DEB為等腰直角三角形，
∴BD=

2

DE=

2

BE，
∵BC=AC=BD+CD=BD+DE=9cm，
∴

2

DE+DE=9，即DE=

9

2 +1

=9（

2

-1）cm，
則△BDE周長為DE+BE+BD=18（

2

-1）+9

2

（

2

-1）=18

2

-18+18-9

2

=9

2

cm．

點評：此題考查了全等三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解本題的關鍵．