Question

在等邊△ABC中，D為射線BC上一點(diǎn)，CE是∠ACB外角的平分線，∠ADE=60°，EF⊥BC于F．
（1）如圖1，若點(diǎn)D在線段BC上．求證：①AD=DE；②BC=DC+2CF；
（2）如圖2，若點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上，（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）過(guò)D作DG∥AC交AB延長(zhǎng)線于G，證得△AGD≌△DCE，得出：①AD=DE；進(jìn)一步利用GD=CE，BD=CE得出②BC=DC+2CF；
（2）證明方法同（1）得出①成立；②不成立．

解答：證明：（1）如圖，

①過(guò)D作DG∥AC交AB于G
∵△ABC是等邊三角形，AB=BC，
∴∠B=∠ACB=60°
∴∠BDG=∠ACB=60°，
∴∠BGD=60°
∴△BDG是等邊三角形，
∴BG=BD
∴AG=DC
∵CE是∠ACB外角的平分線，
∴∠DCE=120°=∠AGD
∵∠ADE=60°，
∴∠ADB+∠EDC=120°=∠ADB+∠DAG
∴∠EDC=∠DAG，
在△AGD和△DCE中，

∠AGD=∠DCE AG=DC ∠EDC=∠DAG

，
∴△AGD≌△DCE（SAS）
∴AD=DE
 ②∵△AGD≌△DCE，
∴GD=CE，
∴BD=CE
∴BC=CE+DC=DC+2CF
（2）過(guò)D作DG∥AC交AB延長(zhǎng)線于G，

①成立；
∵DG∥AC
AG=DC
∠BFGD=∠BDG=∠B=60°
∠AGD=180°-60°=120°
∵∠ACB=60，CE是∠ACB的外角平分線
∴∠ACE=

1

2

×（180°-∠ACB）=60°
∠DCE=120°
∵∠GAD=∠BGD-∠ADG=60°-∠ADG
∵∠CDE=180°-∠GDB-∠ADE-∠ADG=180°-60°-60°-∠ADG=60°-∠ADG
在△AGD和△DCE中，

∠AGD=∠DCE AG=DC ∠EDC=∠DAG

，
∴△AGD≌△DCE（ASA），
AD=DE
②不成立，此時(shí)BC=2CF-CD
∵△AGD≌△DCE，
∴GD=CE，
∴BD=CE
∴BC=BD-CD=CE-DC=2CF-CD．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定，利用邊角關(guān)系以及等量代換求得結(jié)論．