【題目】某校初二數(shù)學(xué)興趣小組活動時,碰到這樣一道題:
“已知正方形,點分別在邊上,若,則”.
經(jīng)過思考,大家給出了以下兩個方案:
(甲)過點作交于點,過點作交于點;
(乙)過點作交于點,作交的延長線于點;同學(xué)們順利地解決了該題后,大家琢磨著想改變問題的條件,作更多的探索.
(1)對小杰遇到的問題,請在甲、乙兩個方案中任選一個,加以證明(如圖1);
圖1 圖2
(2)如果把條件中的“”改為“與的夾角為”,并假設(shè)正方形的邊長為l,的長為(如圖2),試求的長度.
【答案】(1)見解析;(2).
【解析】
(1)選乙,過點作交于點,作交的延長線于點,通過證△AMB≌△ADN來得出結(jié)論;
(2)按(1)的思路也要通過構(gòu)建全等三角形來求解,可過點A作AM∥HF交BC于點M,過點A作AN∥EG交CD于點N,將△AND繞點A旋轉(zhuǎn)到△APB,不難得出△APM和△ANM全等,那么可得出PM=MN,而MB的長可在直角三角形ABM中根據(jù)AB和AM(即HF的長)求出.如果設(shè)DN=x,那么NM=PM=BM+x,MC=BCBM=1BM,因此可在直角三角形MNC中用勾股定理求出DN的長,進而可在直角三角形AND中求出AN即EG的長.
(1)證明:過點作交于點,作交的延長線于點
∴,,
∵正方形
∴,,
∵
∴
∴
在和中,
∴
∴即.
(2)解:過點作交于點,過點作交于點,
∵,,
∴在中,,
將繞點旋轉(zhuǎn)到,
∵與的夾角為
∴
∴,即
從而
∴
設(shè),則,,
在中,,
解得:
∴.
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【題目】如圖,點B(a,b)在第一象限,過B作BA⊥y軸于A,過B作BC⊥x軸于C,且實數(shù)a、b滿足(a-b-2)2+|2a+b-10|≤0,含45角的Rt△DEF的一條直角邊DF與x軸重合,DE⊥x軸于D,點F與坐標(biāo)原點重合,DE=DF=3.△DEF從某時刻開始沿著坐標(biāo)軸以1個單位長度每秒的速度勻速運動,運動時間為t秒.
(1)求點B的坐標(biāo);
(2)若△DEF沿著y軸負方向運動,連接AE,EG平分∠AEF,EH平分∠AED,當(dāng)EG∥DF時,求∠HEF的度數(shù);
(3)若△DEF沿著x軸正方向運動,在運動過程中,記△AEF與長方形OABC重疊部分的面積為S,當(dāng)0<t≤4,S=時,請你求出運動時間t.
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【題目】如圖,平面直角坐標(biāo)系中,、,且、滿足
(1)求、兩點的坐標(biāo);
(2)過點的直線上有一點,連接、, ,如圖2,當(dāng)點在第二象限時,交軸于點,延長交軸于點,設(shè)的長為,的長為,用含的式子表示;
(3)在(2)的條件下,如圖3,當(dāng)點在第一象限時,過點作交于點,連接,若,,求的長.
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【題目】如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,F、G是AD邊上的兩個點,且FC平分∠BCD,GB平分∠ABC,F(xiàn)C與GB交于點E.
①AB=AG;②連接BF、CG,則四邊形BFGC為等腰梯形;③AF=DG;④△ABG∽△DCF.
以上四個結(jié)論中一定成立的有( )個.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【題目】如圖,已知平行四邊形ABCD.
(1)用直尺和圓規(guī)作出么ABC的平分線BE,交AD的延長線于點E,交DC于點F(保留作圖痕跡,不寫作法);
(2)求證:△ABE是等腰三角形;
(3)在(1)中所得圖形中,除△ABE外,請你寫出其他的等腰三角形.(不要求證明)
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【題目】市政公司為綠化建設(shè)路風(fēng)景帶,計劃購買甲乙兩種樹苗600株,甲種樹苗每株50元,乙種樹苗每株70元.有關(guān)統(tǒng)計表明,甲乙兩種樹苗的成活率分別為80%和95%.(注:成活率=×100%).
(1)若購買樹苗的錢不超過40000元,應(yīng)如何選購甲、乙兩種樹苗;
(2)若希望這批樹苗的成活率不低于90%,且購買樹苗的費用最低,應(yīng)如何選購甲、乙兩種樹苗并求出最低費用是多少元.
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【題目】為了解外來務(wù)工子女就學(xué)情況,某校對七年級各班級外來務(wù)工子女的人數(shù)情況進行了統(tǒng)計,發(fā)現(xiàn)各班級中外來務(wù)工子女的人數(shù)有1名、2名、3名、4名、5名、6名共六種情況,并制成如下兩幅統(tǒng)計圖:
(1)求該校七年級平均每個班級有多少名外來務(wù)工子女?并將該條形統(tǒng)計圖補充完整;
(2)學(xué)校決定從只有2名外來務(wù)工子女的這些班級中,任選兩名進行生活資助,請用列表法或畫樹狀圖的方法,求出所選兩名外來務(wù)工子女來自同一個班級的概率.
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【題目】如圖所示,正方形網(wǎng)格中,△ABC為格點三角形(即三角形的頂點都在格點上).
(1)把△ABC沿BA方向平移后,點A移到點A1,在網(wǎng)格中畫出平移后得到的△A1B1C1;
(2)把△A1B1C1繞點A1按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°,在網(wǎng)格中畫出旋轉(zhuǎn)后的△A1B2C2;
(3)如果網(wǎng)格中小正方形的邊長為1,求點B經(jīng)過(1)、(2)變換的路徑總長.
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【題目】已知二次函數(shù)y=x2+mx+n的圖象經(jīng)過點P(-3,1),對稱軸是經(jīng)過點(-1,0)且平行于y軸的直線.
(1)求m,n的值;
(2)如圖,一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過點P,與x軸相交于點A,與二次函數(shù)的圖象相交于另一點B,點B在點P的右側(cè),PA∶PB=1∶5,求一次函數(shù)的表達式.
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