Question

探索題：先填空，再解答，解答需要寫出恰當(dāng)?shù)倪^程．
（x-1）（x+1）=

 

；
（x-1）（x²+x+1）=

 

； 
（x-1）（x³+x²+x+1）=

 

；
…
（x-1）（xⁿ+x^n-1+x^n-2+…+x+1）=

 

；
①運(yùn)用以上方法求：2⁶+2⁵+2⁴+2³+2²+2+1的值；
②運(yùn)用以上方法求：2²⁰¹⁴+2²⁰¹³+2²⁰¹²+…+2²+2+1的個(gè)位數(shù)字是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式

專題：規(guī)律型

分析：先利用平方差公式求出（x-1）（x+1）=x²-1；再利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則求出（x-1）（x²+x+1）=x³+x²+x-x²-x-1=x³-1；（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴+x³+x²+x-x³-x²-x-1=x⁴-1；由此得出規(guī)律（x-1）（xⁿ+x^n-1+x^n-2+…+x+1）=xⁿ⁺¹-1；
①將2⁶+2⁵+2⁴+2³+2²+2+1變形后，利用得出的規(guī)律計(jì)算即可得到結(jié)果；
②原式變形后，利用得出的規(guī)律計(jì)算得到結(jié)果，即可做出判斷．

解答：解：（x-1）（x+1）=x²-1；
（x-1）（x²+x+1）=x³+x²+x-x²-x-1=x³-1；
（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴+x³+x²+x-x³-x²-x-1=x⁴-1；
…
（x-1）（xⁿ+x^n-1+x^n-2+…+x+1）=xⁿ⁺¹-1；
①2⁶+2⁵+2⁴+2³+2²+2+1
=（2-1）（2⁶+2⁵+2⁴+2³+2²+2+1）
=2⁷-1
=127；

②原式=（2-1）（2²⁰¹⁴+2²⁰¹³+2²⁰¹²+2²⁰¹¹+…+2²+2+1）
=2²⁰¹⁵-1，
∵2¹=2，2²=4，2³=8，2⁴=16，2⁵=32，2⁶=64，2⁷=128，2⁸=256，…
∴2ⁿ（n是正整數(shù)）的個(gè)位數(shù)字按照規(guī)律：2，4，8，6；2，4，8，6循環(huán)出現(xiàn)，
∵2015÷4=503…3，
∴2²⁰¹⁵的個(gè)位數(shù)字與2³的個(gè)位數(shù)字相同，是8，
∴2²⁰¹⁴+2²⁰¹³+2²⁰¹²+…+2²+2+1=2²⁰¹⁵-1的個(gè)位數(shù)字是7．
故答案為x²-1；x³-1；x⁴-1；xⁿ⁺¹-1．

點(diǎn)評：此題考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，尾數(shù)特征，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．