【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,四邊形的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)在軸的正半軸上,且于點(diǎn),點(diǎn)的坐標(biāo)為,,,點(diǎn)是線段上一點(diǎn),且,連接.
(1)求證:是等邊三角形;
(2)求點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)平行于的直線從原點(diǎn)出發(fā),沿軸正方向平移.設(shè)直線被四邊形截得的線段長為,直線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.
①當(dāng)直線與軸的交點(diǎn)在線段上(交點(diǎn)不與點(diǎn)重合)時(shí),請(qǐng)直接寫出與的函數(shù)關(guān)系式(不必寫出自變量的取值范圍)
②若,請(qǐng)直接寫出此時(shí)直線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo).
【答案】(1)見解析 (2) (3)① ②,
【解析】
(1)過點(diǎn)A作AM⊥x軸于點(diǎn)M,根據(jù)已知條件,依據(jù)三角函數(shù)求得∠AOM=60°,根據(jù)勾股定理求得OA=4,即可求得.
(2)過點(diǎn)A作AN⊥BC于點(diǎn)N,則四邊形AMCN是矩形,在Rt△ABN中,根據(jù)三角函數(shù)求得AN、BN的值,從而求得OC、BC的長,得出點(diǎn)B的坐標(biāo).
(3)①如圖3,因?yàn)椤?/span>B=60°,BC=4,所以PC=12,EM=m,因?yàn)?/span>OC=8,所以PO=4,OF=t,MF=m,OM=,所以PM=4+(),根據(jù)△PME∽△PCB即可求得m=.
②如圖4,△OEF是等邊三角形所以OF=EF=m=2,在Rt△PCF′中∠CF′P=60°,∠BPE′=∠CPF′=30°,所以BP=PE′÷sin∠B=,PC=,根據(jù)勾股定求得CF′=,所以OF′=.
解:(l)如圖.
證明:過點(diǎn)作軸于點(diǎn),
∵點(diǎn)的坐標(biāo)為,∴,,
∴在中,,∴
由勾股定理得,,
∵,∴,
∴是等邊三角形.
(2)如圖
解:過點(diǎn)作于點(diǎn),
∵,軸,
∴,
∴四邊形為矩形,∴,,
∵,,∴在中,
,
.
∴,,
∴,,
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.
(3)
①如圖3,∠B=60°,BC=4
PC=12,EM=m,
OC=8,
PO=4,OF=t,MF=m,OM=,
PM=4+(),
由△PME∽△PCB即可求得m=.
②如圖4,△OEF是等邊三角形
OF=EF=m=2,
在Rt△PCF′中∠CF′P=60°,∠BPE′=∠CPF′=30°
BP=PE′÷sin∠B=,PC=,
由勾股定求得CF′=,所以OF′=.
故答案為:,
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著人們“節(jié)能環(huán)保,綠色出行”意識(shí)的增強(qiáng),越來越多的人喜歡騎自行車出行,也給自行車商家?guī)砩虣C(jī).某自行車行經(jīng)營的A型自行車去年銷售總額為8萬元.今年該型自行車每輛售價(jià)預(yù)計(jì)比去年降低200元.若該型車的銷售數(shù)量與去年相同,那么今年的銷售總額將比去年減少10%,求:
(1)A型自行車去年每輛售價(jià)多少元?
(2)該車行今年計(jì)劃新進(jìn)一批A型車和新款B型車共60輛,且B型車的進(jìn)貨數(shù)量不超過A型車數(shù)量的兩倍.已知,A型車和B型車的進(jìn)貨價(jià)格分別為1500元和1800元,計(jì)劃B型車銷售價(jià)格為2400元,應(yīng)如何組織進(jìn)貨才能使這批自行車銷售獲利最多?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在ABCD中,對(duì)角線AC⊥BC,∠BAC=30°,BC=2,在AB邊的下方作射線AG,使得∠BAG=30°,E為線段DC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),在射線AG上取一點(diǎn)P,連接BP,使得∠EBP=60°,連接EP交AC于點(diǎn)F,在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過程中,當(dāng)∠BPE=60°時(shí),則AF=_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,拋物線y=ax2+2ax+c(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A,B(1,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,且OA=OC.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)D是拋物線頂點(diǎn),求△ACD的面積;
(3)如圖2,射線AE交拋物線于點(diǎn)E,交y軸的負(fù)半軸于點(diǎn)F(點(diǎn)F在線段AE上),點(diǎn)P是直線AE下方拋物線上的一點(diǎn),S△ABE=,求△APE面積的最大值和此動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】解不等式組
請(qǐng)結(jié)合題意,完成本題解答.
(1)解不等式①,得_________________;
(2)解不等式②,得:_________________;
(3)原不等式組的解集為_________________;
(4)把不等式組的解集在數(shù)軸上表示出來.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.
(1)求的取值范圍;
(2)若為非負(fù)整數(shù),且該方程的根都是有理數(shù),求出該方程的根.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知AB是⊙O的直徑,DC與⊙O相切于點(diǎn)C,交AB的延長線于點(diǎn)D.
(1)求證:∠BAC=∠BCD;
(2)若BD=4,DC=6,求⊙O的半徑.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在數(shù)軸上,點(diǎn)表示1,現(xiàn)將點(diǎn)沿軸做如下移動(dòng),第一次點(diǎn)向左移動(dòng)3個(gè)單位長度到達(dá),第二次將點(diǎn)向右移動(dòng)6個(gè)單位長度到達(dá)點(diǎn),第三次將點(diǎn)向左移動(dòng)9個(gè)單位長度到達(dá)點(diǎn),按照這種移動(dòng)規(guī)律移動(dòng)下去,第次移動(dòng)到點(diǎn),那么表示的數(shù)是____.
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