Question

已知：如圖，正方形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，E、F分別為OA、OD中點(diǎn)．求證：
（1）EF∥AD；
（2）四邊形BCFE為等腰梯形．

Answer 1

分析：（1）由E、F分別為OA、OD中點(diǎn)，可知EF是△OAD的中位線，即可證得EF∥AD；
（2）由正方形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，E、F分別為OA、OD中點(diǎn)，易證得EF∥BC，EF≠BC，即可得四邊形BCFE為梯形，易證得△BOE≌△COF，則可得BE=CF，即可得四邊形BCFE為等腰梯形．

解答：證明：（1）∵E、F分別為OA、OD中點(diǎn)，
∴EF是△OAD的中位線，
∴EF∥AD；

（2）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AD=BC，OA=OB=OC=OD，
∵E、F分別為OA、OD中點(diǎn)，
∴OE=

1

2

OA，OF=

1

2

OD，EF∥AD，EF=

1

2

AD，
∴OE=OF，EF∥BC，EF=

1

2

BC，
∴四邊形BCFE是梯形，
在△BOE和△COF中，

OB=OC ∠BOE=∠COF OE=OF

，
∴△BOE≌△COF（SAS），
∴BE=CF，
∴四邊形BCFE為等腰梯形．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了等腰梯形的判定、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角形中位線的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．