【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點A(-1,0),點B(3,0)和點C(0,3).
(1)求拋物線的解析式和頂點E的坐標;
(2)點C是否在以BE為直徑的圓上?請說明理由;
(3)點Q是拋物線對稱軸上一動點,點R是拋物線上一動點,是否存在點Q、R,使以Q、R、C、B為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,直接寫出點Q、R的坐標,若不存在,請說明理由.
【答案】(1)y=-x2+2x+3,E (1,4);(2)在;(3)Q1(1,-2),R1(4,-5);
Q2(1,-8),R2(-2,-5);R3(2,3),Q3(1,0).
【解析】試題分析:(1)運用待定系數(shù)法即可得出函數(shù)關(guān)系式,然后進行配方即可得出頂點坐標;
(2)過點E分別作x軸、y軸的垂線,垂足分別F、G.易證△BCE為直角三角形,點C在以BE為直徑的圓上;
(3)利用平行四邊形的性質(zhì)易得點Q、R的坐標.
試題解析: (1) 將A(-1,0),B(3,0)和C(0,3)代入y=ax2+bx+c
得
解得
∴拋物線的解析式為y=-x2+2x+3,
∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,
∴頂點E的坐標為(1,4).
(2)點C在以BE為直徑的圓上,理由如下:
如圖,過點E分別作x軸、y軸的垂線,垂足分別F、G.
在Rt△BOC中,OB=3,OC=3,∴BC2=18
在Rt△CEG中,EG=1,CG=OG-OC=4-3=1,∴CE2=2
在Rt△BFE中,FE=4,BF=OB-OF=3-1=2, ∴BE2=20
∴BC2+CE2=BE2
故△BCE為直角三角形,點C在以BE為直徑的圓上.
(3)存在,點Q、R的坐標分別為Q1(1,-2),R1(4,-5);
Q2(1,-8),R2(-2,-5);R3(2,3),Q3(1,0).
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【題目】某校九年級舉行畢業(yè)典禮,需要從九(1)班的2名男生1名女生、九(2)的1名男生1名女生共5人中選出2名主持人.
(1)用樹形圖或列表法列出所有可能情形;
(2)求2名主持人來自不同班級的概率;
(3)求2名主持人恰好1男1女的概率.
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【題目】如圖1,在平面直角坐標系中,點A坐標為(4,4),點B的坐標為(2,0).
(1)求線段AB的長;
(2)點M是坐標軸上的一個點,若以AB為直角邊構(gòu)造直角三角形△ABM,請求出滿足條件的所有點M的坐標;
(3)如圖2,以點A為直角頂點作∠CAD=90°,射線AC交x軸的負半軸與點C,射線AD交y軸的負半軸與點D,當(dāng)∠CAD繞點A旋轉(zhuǎn)時,OCOD的值是否發(fā)生變化?若不變,直接寫出它的值;若變化,直接寫出它的變化范圍(不要求寫解題過程).
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【題目】某校計劃購買一批排球和足球,已知購買2個排球和1個足球共需321元,購買3個排球和2個足球共需540元.
(1)求每個排球和足球的售價;
(2)若學(xué)校計劃購買這兩種球共50個,總費用不超過5500元,那么最多可購買足球多少個?
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【題目】如圖,平面直角坐標系中,已知點A(-3,3),B(-5,1),C(-2,0),P(a,b)是△ABC的邊AC上任意一點,△ABC經(jīng)過平移后得到△A1B1C1,點P的對應(yīng)點為P1(a+6,b-2).
(1)直接寫出點C1的坐標為______ ;(2)求△AOA1的面積.
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【題目】某城市有5 000萬人口,若平均每3.3人為一個家庭,平均每個家庭每周丟棄5個塑料袋,一年將丟棄多少個塑料袋?若每1 000個塑料袋污染1平方米土地,那么該城市一年被塑料袋污染的土地是多少?(保留2個有效數(shù)字)
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【題目】某學(xué)校在疫情期間的復(fù)學(xué)準備工作中,為了貫徹落實“生命重于泰山,安全至關(guān)重要”的思想,計劃購買室內(nèi)、室外兩種型號的消毒液.已知每桶室外消毒液的價格比每桶室內(nèi)消毒液的價格多30元,買2桶室內(nèi)消毒液和3桶室外消毒液共需340元.
(1)求室內(nèi)、室外兩種型號消毒液每桶的價格;
(2)根據(jù)學(xué)校實際情況,需購買室內(nèi)、室外兩種型號的消毒液共200桶,總費用不高于1.4萬元,問室內(nèi)消毒液至少要購買多少桶?
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