Question

已知：正方形ABCD的邊長為4，⊙O交正方形ABCD的對角線AC所在直線于點T，連接TO交⊙O于點S．

（1）如圖1，當⊙O經(jīng)過A、D兩點且圓心O在正方形ABCD內(nèi)部時，連接DT、DS．
①試判斷線段DT、DS的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；　　
②求AS+AT的值；
（2）如圖2，當⊙O經(jīng)過A、D兩點且圓心O在正方形ABCD外部時，連接DT、DS．求AS-AT的值；
（3）如圖3，延長DA到點E，使AE=AD，當⊙O經(jīng)過A、E兩點時，連接ET、ES．根據(jù)（1）、（2）計算，通過觀察、分析，對線段
AS、AT的數(shù)量關(guān)系提出問題并解答．

Answer 1

解：（1）①線段DT、DS的數(shù)量和位置關(guān)系分別是：DT=DS，DT⊥DS．理由如下：
∵AC為正方形ABCD的對角線，
∴∠TAD=45°，
∵TS為直徑，
∴∠SDT=90°，
又∵∠TSD=∠TAD，
∴∠TSD=45°，
∴△DST為等腰直角三角形，
∴DT=DS，DT⊥DS；
②∵∠SDT=∠ADC=90°，
∴∠SDA=∠CDT，
又∵TS為直徑，
∴∠SAT=90°，
∴∠SAD=45°，
∴∠SAD=∠DCT，
而DA=DC，
∴△DAS≌△DCT，
∴AS=TC，
∴AS+AT=AC，
而正方形ABCD的邊長為4，
∴AC=4，
∴AS+AT=；
（2）∵TS為直徑，
∴∠SAT=90°，∠SDT=90°，
∴∠SAC=90°，
而∠CAD=45°，
∴∠SAD=45°，
∴∠STD=45°，
∴△DST為等腰直角三角形，
∴DS=DT，
又∵∠SAD=∠DCT=45°，∠ASD=∠DTC，
∴△DAS≌△DCT，
∴AS=TC，
∴AS-AT=TC-AT=AC=；
（3）提出的問題是：求 AT-AS 的值．解答如下：
在TA上截取TF=AS，連接EF，如圖，
∵∠TAE=∠BAC=45°，
∴△EST為等腰直角三角形，
∴SE=TE，
又∵∠ASE=∠ETF，
在△EAS和△EFT中，

∴△EAS≌△EFT（SAS），
∴∠SEA=∠TEF，AE=EF，
而∠TES=90°，
∴∠AEF=90°，
∴△AEF為等腰直角三角形，
∴AF=AE，
∵AE=AD=4，
∴AT-AS=AT-TF=AF=．
分析：（1）①根據(jù)正方形的性質(zhì)得∠TAD=45°，再根據(jù)圓周角定理和推論得∠SDT=90°，∠TSD=∠TAD，易得△DST為等腰直角三角形，則DT=DS，DT⊥DS；
②由∠SDT=∠ADC=90°得∠SDA=∠CDT，易證得△DAS≌△DCT，得AS=TC，所以AS-AT=TC-AT=AC=；
（2）同樣可證得△DST為等腰直角三角形，得到DS=DT，而∠SAD=∠DCT=45°，∠ASD=∠DTC，則△DAS≌△DCT，AS=TC，得AS-AT=TC-AT=AC=4；
（3）提出的問題是：求 AT-AS 的值．在TA上截取TF=AS，連接EF，易證得△EST為等腰直角三角形，得到SE=TE，易證△EAS≌△EFT，得到∠SEA=∠TEF，AE=EF，
得到△AEF為等腰直角三角形，則AF=AE，而AE=AD=4，于是有AT-AS=AT-TF=AF=．
點評：本題考查了圓周角定理以及推論：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等；直徑所對的圓周角為直角．也考查了正方形的性質(zhì)以及三角形全等的判定與性質(zhì)．