Question

關于x的方程x²-（m+2）x+（2m-1）=0
（1）求證：方程恒有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）若此方程的一個根為1，求m的值；
（3）求出以此方程兩根為直角邊的直角三角形的周長．

Answer 1

考點：根的判別式,一元二次方程的解,根與系數(shù)的關系,勾股定理

專題：

分析：（1）根據(jù)關于x的方程x²-（m+2）x+（2m-1）=0的根的判別式的符號來證明結(jié)論；
（2）根據(jù)一元二次方程的解的定義，將x=1代入方程x²-（m+2）x+（2m-1）=0，即可求得m的值；
（3）先由根與系數(shù)的關系求得方程的另一根為3，再分類討論：①當該直角三角形的兩直角邊是1、3時，由勾股定理得斜邊的長度為：

10

；②當該直角三角形的直角邊和斜邊分別是1、3時，由勾股定理得該直角三角形的另一直角邊為2

2

；再根據(jù)三角形的周長公式進行計算．

解答：（1）證明：∵△=（m+2）²-4（2m-1）=（m-2）²+4，
∴在實數(shù)范圍內(nèi)，m無論取何值，（m-2）²+4＞0，即△＞0，
∴關于x的方程x²-（m+2）x+（2m-1）=0恒有兩個不相等的實數(shù)根；

（2）解：根據(jù)題意，得
1²-1×（m+2）+（2m-1）=0，
解得，m=2；

（3）解：方程的另一根為：m+2-1=2+1=3；
①當該直角三角形的兩直角邊是1、3時，由勾股定理得斜邊的長度為：

10

；
該直角三角形的周長為1+3+

10

=4+

10

；
②當該直角三角形的直角邊和斜邊分別是1、3時，由勾股定理得該直角三角形的另一直角邊為2

2

；
則該直角三角形的周長為1+3+2

2

=4+2

2

．

點評：本題綜合考查了勾股定理、根的判別式、根與系數(shù)的關系、一元二次方程解的定義．解答（3）時，采用了“分類討論”的數(shù)學思想．