【題目】定義:連接拋物線上兩點的線段叫拋物線的弦,在這兩點之間拋物線上的任意一點P與此兩點構成的三角形稱作拋物線的弦三角,點P稱作弦錐,設點P的橫坐標為x.
已知拋物線經(jīng)過A(1,2)、B(m,n)、C(3,﹣2)三點,P是拋物線上AC之間的一點,以AC為弦的弦三角為△PAC.
(1)圖一,當m=2,n=1時,求該拋物線的解析式,若x=k1時△PAC的面積最大,求k1的值.
(2)圖二,當m=2,n≠1時,用n表示該拋物線的解析式,若x=k2時△PAC的面積最大,求k2的值.k1與k2有何數(shù)量關系?
(3)圖三,當m≠2,n≠1時,用m,n表示該拋物線的解析式,若x=k3時△PAC的面積最大,求k3的值.觀察圖1,2,3,過定點A、C,根據(jù)B在各種不同位置所得計算結果,你發(fā)現(xiàn)通過兩個定點的拋物線系中,以此兩點為弦的弦三角的面積取得最大值時,弦錐的橫坐標有何規(guī)律?
【答案】(1)y=﹣x2+2x+1,k1=2;(2)y=﹣nx2+(4n﹣2)x+(4﹣3n),k2=2,k1=k2;(3),k3=2,弦錐的橫坐標均相等.
【解析】
(1)根據(jù)待定系數(shù)法求解即可;過點P作PD⊥x軸于點D,交直線AC于點E,如圖4,易求出直線AC的解析式,由于點P的橫坐標為k1,則其縱坐標和點E的縱坐標可得,于是PE的長可用k1的代數(shù)式表示,然后利用可得△PAC的面積關于k1的函數(shù)關系式,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可;
(2)先根據(jù)待定系數(shù)法求出拋物線的解析式,根據(jù)點B的位置需分情況討論:①若n>0,如圖4,仿(1)題的思路用k2的代數(shù)式表示出PE的長,然后利用可得△PAC的面積關于k2的函數(shù)關系式,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可;②若n<0,如圖5,仿①的思路可得,進而可用k2的代數(shù)式表示出△PAC的面積,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可;進一步即可比較k1與k2的數(shù)量關系;
(3)先根據(jù)待定系數(shù)法求出拋物線的解析式,然后仿(2)題的思路分兩種情況可得△PAC的面積關于k3的函數(shù)關系式,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可,然后根據(jù)前面3個小題的結果即可得出弦錐的橫坐標的規(guī)律.
解:設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c,
(1)當m=2,n=1時,把A(1,2)、B(2,1)、C(3,﹣2)代入,得,解得:,
∴拋物線的解析式為:y=﹣x2+2x+1,
∵A(1,2)、C(3,﹣2),∴直線AC的解析式為y=﹣2x+4,
∵P(k1,﹣k12+2k1+1),過點P作PD⊥x軸于點D,交直線AC于點E,如圖4,則點E(k1,﹣2k1+4),
∴,
∴,
∴當k1=2時,△PAC的面積最大;
(2)當m=2,n≠1時,把A(1,2)、B(2,n)、C(3,﹣2)代入,得:
,解得:,
∴拋物線的解析式為:y=﹣nx2+(4n﹣2)x+(4﹣3n),
①若n>0,∵P(k2,﹣nk22+(4n﹣2)k2+(4﹣3n)),過點P作PD⊥x軸于點D,交直線AC于點E,如圖4,則點E(k2,﹣2k2+4),
∴=﹣nk22+(4n﹣2)k2+(4﹣3n)+2k2-4=﹣nk22+4nk2﹣3n,
∴,
∴當k2=2時,△PAC的面積最大;
②若n<0,如圖5,則=﹣2k2+4+nk22-(4n﹣2)k2-(4﹣3n)=nk22-4nk2+3n,
∴,
∴當k2=2時,△PAC的面積最大;
綜上,當k2=2時,△PAC的面積最大;
∴k1=k2;
(3)當m≠2,n≠1時,把A(1,2)、B(m,n)、C(3,﹣2)代入,得:
,解得:,
∴拋物線的解析式為:,
則P(k3,),
①若,過點P作PD⊥x軸于點D,交直線AC于點E,如圖4,則點E(k3,﹣2k3+4),
∴==,
∴,
∴當k3=2時,△PAC的面積最大;
②若,如圖5,則=,
∴,
∴當k3=2時,△PAC的面積最大;
綜上,當k3=2時,△PAC的面積最大;
綜上所述,過定點A、C,根據(jù)B在各種不同位置所得計算結果,可以發(fā)現(xiàn)通過兩個定點的拋物線系中,以此兩點為弦的弦三角的面積取得最大值時,弦錐的橫坐標均相等.
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【題目】如圖,P是等腰直角△ABC外一點,把BP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°到BP′,使點P′在△ABC內(nèi),已知∠AP′B=135°,若連接P′C,P′A:P′C=1:4,則P′A:P′B=( )
A.1:4B.1:5C.2:D.1:
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【題目】已知拋物線y=x2+bx﹣3經(jīng)過點A(1,0),頂點為點M.
(1)求拋物線的表達式及頂點M的坐標;
(2)求∠OAM的正弦值.
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【題目】如圖(1)是某公園里的一種健身器材,其側面示意圖如圖(2)所示,其中AB=AC=120cm,BC=80cm,AD=30cm,∠DAC=90°.求點D到地面的高度是多少?
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【題目】如圖,先研究下面三角形、四邊形、五邊形、六邊形…多邊形的邊數(shù)n及其對角線條數(shù)t的關系,再完成下面問題:
(1)若一個多邊形是七邊形,它的對角線條數(shù)為 ,n邊形的對角線條數(shù)為t= (用n表示).
(2)求正好65條對角線的多邊形是幾邊形.
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【題目】小明和小亮玩一個游戲:三張大小、質(zhì)地都相同的卡片上分別標有數(shù)字2,3,4(背面完全相同),現(xiàn)將標有數(shù)字的一面朝下.小明從中任意抽取一張,記下數(shù)字后放回洗勻,然后小亮從中任意抽取一張,計算小明和小亮抽得的兩個數(shù)字之和.若和為奇數(shù),則小明勝;若和為偶數(shù),則小亮勝.
(1)請你用畫樹狀圖或列表的方法,求出這兩數(shù)和為6的概率.
(2)你認為這個游戲規(guī)則對雙方公平嗎?說說你的理由.
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【題目】在如圖所示的方格紙中,每個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形,△ABC的頂點及點O都在格點上(每個小方格的頂點叫做格點).
(1)以點O為位似中心,在網(wǎng)格區(qū)域內(nèi)畫出△A′B′C′,使△A′B′C′與△ABC位似(A′、B′、C′分別為A、B、C的對應點),且位似比為2:1;
(2)△A′B′C′的面積為 個平方單位;
(3)若網(wǎng)格中有一格點D′(異于點C′),且△A′B′D′的面積等于△A′B′C′的面積,請在圖中標出所有符合條件的點D′.(如果這樣的點D′不止一個,請用D1′、D2′、…、Dn′標出)
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB于H,過CD延長線上一點E作⊙O的切線交AB的延長線于F.切點為G,連接AG交CD于K.
(1)如圖1,求證:KE=GE;
(2)如圖2,若AC∥EF,試判斷線段KG、KD、GE間的數(shù)量關系,并說明理由;
(3)在(2)的條件下,若sinE=,AK=2,求⊙O的半徑.
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【題目】已知,如圖,有一塊含有30°的直角三角形的直角邊的長恰與另一塊等腰直角三角形的斜邊的長相等.把該套三角板放置在平面直角坐標系中,且
(1)若某開口向下的拋物線的頂點恰好為點,請寫出一個滿足條件的拋物線的解析式.
(2)若把含30°的直角三角形繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)后,斜邊恰好與軸重疊,點落在點,試求圖中陰影部分的面積(結果保留)
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