Question

（本小題滿分9分） 如圖，在△ABC中，∠C=45°，BC=10，高AD=8，矩形EFPQ的一邊QP在邊上，E、F兩點分別在AB、AC上，AD交EF于點H．

（1）求證：；

（2）設EF=x，當x為何值時，矩形EFPQ的面積最大？并求其最大值；

（3）當矩形EFPQ的面積最大時，該矩形EFPQ以每秒1個單位的速度沿射線QC勻速運動（當點Q與點C重合時停止運動），設運動時間為t秒，矩形EFPQ與△ABC重疊部分的面積為S，當0≤t<49時，求S與t的函數關系式．

 

Answer 1

（1）見解析；（2）20（3）

【解析】

試題分析：（1）易證得△AEF∽△ABC，而AH、AD是兩個三角形的對應高，EF、BC是對應邊，它們的比都等于相似比，由此得證；

（2）此題要轉化為函數的最值問題來求解；由（1）的結論可求出AH的表達式，進而可得到HD（即FP）的表達式；已求得了矩形的長和寬，即可根據矩形的面積公式得到關于矩形EFPQ的面積和x的函數關系式，根據函數的性質即可得到矩形的最大面積及對應的x的值；

（3）此題要理清幾個關鍵點，當矩形的面積最大時，由（2）可知此時EF=5，EQ=4；易證得△CPF是等腰Rt△，則PC=PF=4，QC=QP+PC=9；

一、P、C重合時，矩形移動的距離為PC（即4），運動的時間為4s；

二、E在線段AC上時，矩形移動的距離為9-4=5，運動的時間為5s；

三、Q、C重合時，矩形運動的距離為QC（即9），運動的時間為9s；

所以本題要分三種情況討論：

①當0≤t＜4時，重合部分的面積是矩形EFPQ與等腰Rt△FMN（設AC與FE、FP的交點為M、N）的面積差，FM的長即為梯形移動的距離，由此可得到S、t的函數關系式；

②當4≤t＜5時，重合部分是個梯形，可用t表示出梯形的上下底，進而由梯形的面積公式求得S、t的函數關系式；

③當5≤t≤9時，重合部分是個等腰直角三角形，其直角邊的長易求得，即可得出此時S、t的函數關系式．

試題解析：證明：∵四邊形EFPQ是矩形，

∴EF∥QP

∴

又∵AD⊥BC，

∴AH⊥EF；

∴=；

（2）【解析】
由（1）得=，∴AH=x ∴EQ=HD=AD﹣AH=8﹣x

∴=EF•EQ=x（8﹣x）=﹣x2+8x=﹣（x﹣5）2+20

∵﹣＜0，

∴當x=5時，有最大值，最大值為20；

（3）【解析】
如圖1，由（2）得EF=5，EQ=4

∵∠C=45°，△FPC是等腰直角三角形．

∴PC=FP=EQ=4，QC=QP+PC=9

如圖2，當0≤t＜4時，

設EF、PF分別交AC于點M、N，

則△MFN是等腰直角三角形；

∴FN=MF=t

∴S= =20﹣t2=

考點：三角形相似，矩形的面積，二次函數