Question

（本小題滿(mǎn)分9分） 如圖，在△ABC中，∠C=45°，BC=10，高AD=8，矩形EFPQ的一邊QP在邊上，E、F兩點(diǎn)分別在AB、AC上，AD交EF于點(diǎn)H．

（1）求證：；

（2）設(shè)EF=x，當(dāng)x為何值時(shí)，矩形EFPQ的面積最大？并求其最大值；

（3）當(dāng)矩形EFPQ的面積最大時(shí)，該矩形EFPQ以每秒1個(gè)單位的速度沿射線QC勻速運(yùn)動(dòng)（當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)），設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，矩形EFPQ與△ABC重疊部分的面積為S，當(dāng)0≤t<49時(shí)，求S與t的函數(shù)關(guān)系式．

 

Answer 1

（1）見(jiàn)解析；（2）20（3）

【解析】

試題分析：（1）易證得△AEF∽△ABC，而AH、AD是兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)高，EF、BC是對(duì)應(yīng)邊，它們的比都等于相似比，由此得證；

（2）此題要轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)求解；由（1）的結(jié)論可求出AH的表達(dá)式，進(jìn)而可得到HD（即FP）的表達(dá)式；已求得了矩形的長(zhǎng)和寬，即可根據(jù)矩形的面積公式得到關(guān)于矩形EFPQ的面積和x的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可得到矩形的最大面積及對(duì)應(yīng)的x的值；

（3）此題要理清幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，當(dāng)矩形的面積最大時(shí)，由（2）可知此時(shí)EF=5，EQ=4；易證得△CPF是等腰Rt△，則PC=PF=4，QC=QP+PC=9；

一、P、C重合時(shí)，矩形移動(dòng)的距離為PC（即4），運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為4s；

二、E在線段AC上時(shí)，矩形移動(dòng)的距離為9-4=5，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為5s；

三、Q、C重合時(shí)，矩形運(yùn)動(dòng)的距離為QC（即9），運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為9s；

所以本題要分三種情況討論：

①當(dāng)0≤t＜4時(shí)，重合部分的面積是矩形EFPQ與等腰Rt△FMN（設(shè)AC與FE、FP的交點(diǎn)為M、N）的面積差，F(xiàn)M的長(zhǎng)即為梯形移動(dòng)的距離，由此可得到S、t的函數(shù)關(guān)系式；

②當(dāng)4≤t＜5時(shí)，重合部分是個(gè)梯形，可用t表示出梯形的上下底，進(jìn)而由梯形的面積公式求得S、t的函數(shù)關(guān)系式；

③當(dāng)5≤t≤9時(shí)，重合部分是個(gè)等腰直角三角形，其直角邊的長(zhǎng)易求得，即可得出此時(shí)S、t的函數(shù)關(guān)系式．

試題解析：證明：∵四邊形EFPQ是矩形，

∴EF∥QP

∴

又∵AD⊥BC，

∴AH⊥EF；

∴=；

（2）【解析】
由（1）得=，∴AH=x ∴EQ=HD=AD﹣AH=8﹣x

∴=EF•EQ=x（8﹣x）=﹣x2+8x=﹣（x﹣5）2+20

∵﹣＜0，

∴當(dāng)x=5時(shí)，有最大值，最大值為20；

（3）【解析】
如圖1，由（2）得EF=5，EQ=4

∵∠C=45°，△FPC是等腰直角三角形．

∴PC=FP=EQ=4，QC=QP+PC=9

如圖2，當(dāng)0≤t＜4時(shí)，

設(shè)EF、PF分別交AC于點(diǎn)M、N，

則△MFN是等腰直角三角形；

∴FN=MF=t

∴S= =20﹣t2=

考點(diǎn)：三角形相似，矩形的面積，二次函數(shù)