Question

如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=6米，BC=8米，動(dòng)點(diǎn)P以2米/秒得速度從A點(diǎn)出發(fā)，沿AC向C移動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q以1米/秒得速度從C點(diǎn)出發(fā)，沿CB向B移動(dòng).當(dāng)其中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，他們都停止移動(dòng)，設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為t秒.

（1）①當(dāng)t=2.5秒時(shí)，求△CPQ的面積；

②求△CPQ的面積S（平方米）關(guān)于時(shí)間t（秒）的函數(shù)關(guān)系式.

（2）在P，Q移動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)△CPQ為等腰三角形時(shí)，寫(xiě)出t的值.

（3）以P為圓心，PA為半徑的圓與以Q為圓心，QC為半徑的圓相切時(shí)，求出t的值.

 

Answer 1

（1）①3.75；②S=（0<t<5）;（2）當(dāng)秒；秒；或秒時(shí)△CPQ為等腰三角形；（3）；

【解析】

試題分析：在Rt△ABC中，AB=6米，BC=8米，所以AC=10米.

由題意得：AP=2t，CQ=10-2t.

（1）①過(guò)點(diǎn)P作PD⊥BC于D.

∵t=2.5，AP=2×2.5=5，QC=2.5，

∴PD=AB=3.

∴S=×QC×PD=3.75.、

②過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥PC于點(diǎn)E.

易知Rt△QEC∽R(shí)t△ABC，∴，QE=.

∴S=.

（2）當(dāng)秒（此時(shí)PC=QC），秒（此時(shí)PQ=QC），或秒（此時(shí)PQ=PC）△CPQ為等腰三角形；

（3）過(guò)點(diǎn)P作PF⊥BC于點(diǎn)F，則有△PCF∽△ACB.

∴，即.

∴PF=，F(xiàn)C=.

則在Rt△PFQ中，.

當(dāng)⊙P與⊙Q外切時(shí)，有PQ=PA+QC=3t，此時(shí).

整理得：，解得.

故⊙P與⊙Q外切時(shí)，；

當(dāng)⊙P與⊙Q內(nèi)切時(shí)，有PQ=PA-QC=t，此時(shí).

整理得：，解得.

故⊙P與⊙Q內(nèi)切時(shí).

考點(diǎn): 三角形的綜合運(yùn)用