Question

已知四邊形ABCD是正方形，O為正方形對角線的交點，一動點P從B開始，沿射線BC運動，連接DP，作CN⊥DP于點M，且交直線AB于點N，連接OP，ON．（當P在線段BC上時，如圖1：當P在BC的延長線上時，如圖2）
（1）如圖1，猜想ON與OP的關系并證明；
（2）如圖1圖2，設AB=4，BP=x，試確定以O、P、B、N為頂點的四邊形的面積y與x的函數(shù)關系．

Answer 1

考點：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)同角的余角相等求出∠BCN=∠CDP，再利用“角角邊”證明△BCN和△CDP全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得CN=DP，再根據(jù)等角的余角相等求出∠OCN=∠ODP，然后利用“邊角邊”證明△OCN和△ODP全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得ON=OP，全等三角形對應角相等可得∠CON=∠DOP，再求出∠AON=∠BOP，然后求出∠NOP=∠AOB=90°，根據(jù)垂直的定義可得ON⊥OP；
（2）根據(jù)同角的余角相等求出∠CDP=∠BCN，再根據(jù)“角邊角”證明△CDP和△CBN全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得BN=CP，再表示出BN，然后根據(jù)四邊形的面積等于兩個三角形的面積列式整理即可得解．

解答：解：（1）∵CN⊥DP，
∴∠CDP+∠DCN=90°，
又∵∠DCN+∠BCN=90°，
∴∠BCN=∠CDP，
在△BCN和△CDP，

∠BCN=∠CDP BC=CD ∠ABC=∠BCD=90°

，
∴△BCN≌△CDP（ASA），
∴CN=DP，
∵CN⊥DP，AC⊥BD，
∴∠OCN=∠ODP，
在△OCN和△ODP中，

OC=OD ∠OCN=∠ODP CN=DP

，
∴△OCN≌△ODP（SAS），
∴ON=OP，∠CON=∠DOP，
∴∠AON=∠BOP，
∴∠NOP=∠AOB=90°，
∴ON⊥OP，
綜上所述，ON與OP垂直且相等；

（2）∵CN⊥DP，
∴∠CDP+∠DCM=90°，
又∵∠BCN+∠DCM+90°=180°，
∴∠CDP=∠BCN，
在△CDP和△CBN中，

∠CDP=∠BCN BC=CD ∠CBN=∠DCP=90°

，
∴△CDP≌△CBN（SAS），
∴BN=CP，
∵AB=4，BP=x，
∴BN=x-4，點O到BP的距離=

1

2

×4=2，
∴y=

1

2

x•2+

1

2

x（x-4）=

1

2

x²-x．

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并準確識圖確定出全等三角形和三角形全等的條件是解題的關鍵．