Question

如圖，已知?jiǎng)狱c(diǎn)A在函數(shù)y=

4

x

（x＞0）的圖象上，AB⊥x軸于點(diǎn)B，AC⊥y軸于點(diǎn)C，延長CA至點(diǎn)D，使AD=AB，延長BA至點(diǎn)E，使AE=AC，直線DE分別交x軸于點(diǎn)P、Q．
（1）當(dāng)AC=a時(shí)，請(qǐng)用含a的代數(shù)式表示陰影部分的面積；
（2）若ED：DP=3：5，求陰影部分的面積；
（3）若QE：DP=3：5，求陰影部分的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）四邊形AEGC和ABFD都是正方形，△ACE和△ABD都是等腰直角三角形，求得A的縱坐標(biāo)，然后利用三角形的面積公式即可求解；
（2）作DF⊥x軸于點(diǎn)F，則△AED∽△FDP，則

AC

AB

=

AE

DF

=

ED

DP

=

3

5

，然后利用反比例函數(shù)中比例系數(shù)k的幾何意義，即可得到AC•AB=4，即可求解；
（3）設(shè)EG=3t，則PF=5t，然后根據(jù)△ADE∽△FPD，據(jù)此即可得到關(guān)于t的方程，求得t的值，進(jìn)而求解．

解答：解：（1）在y=

4

x

中，令x=a，則y=

4

a

，
則S_△ACE=

1

2

a²，S_△ABD=

1

2

•（

4

a

）²=

8

a2

，
則陰影部分的面積是：

1

2

a²+

8

a2

；

（2）作DF⊥x軸于點(diǎn)F，則△AED∽△FDP，
則

AE

DF

=

ED

DP

=

3

5

，
∵四邊形AEGC和ABFD都是正方形，
∴

AC

AB

=

AE

DF

=

ED

DP

=

3

5

，
設(shè)AC=3x，則AB=5x，
∵反比例的函數(shù)的解析式是y=

4

x

，
∴AC•AB=4，
∴3x•5x=4，
解得：x²=

4

15

，
則陰影部分的面積是：

1

2

AC²+

8

AC2

=

1

2

×

4

15

×9+

8

9× 4 15

=

68

15

；
（3）：∵QE：DP=3：5，
∴EG：PF=3：5，
設(shè)EG=3t，則PF=5t，
∴A（3t，

4

3t

），
由AC=AE AD=AB，
∴AE=3t，AD=

4

3t

，DF=

4

3t

，PF=5t，
∵△ADE∽△FPD，
∴AE：DF=AD：PF，
3t：

4

3t

=

4

3t

：5t，即t²=

4 15

45

，
圖中陰影部分的面積=

1

2

×3t×3t+

1

2

×

4

3t

×

4

3t

=

13 15

15

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)y=

k

x

（k≠0）系數(shù)k的幾何意義：從反比例函數(shù)y=

k

x

（k≠0）圖象上任意一點(diǎn)向x軸和y軸作垂線，垂線與坐標(biāo)軸所圍成的矩形面積為|k|．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．