Question

如圖1，已知雙曲線y=

k

x

（k＞0）與直線y=k₁x交于A、B兩點，點A的坐標為（6，2）．試解答下列問題：

（1）k=

 

，k₁=

 

，點B的坐標為

 

；
（2）如圖2，過原點O作另一條直線y=3x交雙曲線y=

k

x

（k＞0）于P、Q兩點，點P在第一象限，判定四邊形APBQ的形狀，并證明；
（3）如圖3，若PB交y軸于點C，在直線y=-x上是否存在一點T，使得|TQ-TC|的值最大？若存在，求出該最大值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）利用待定系數(shù)法即可求得k和k1的值，根據(jù)反比例函數(shù)的圖象是中心對稱圖形，即可求得B的坐標；
（2）根據(jù)反比例函數(shù)的圖象是中心對稱圖形，可以得到OA=OB，OP=OQ，根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形即可求解；
（3）首先求得P和Q的坐標，以及C的坐標，點C關(guān)于y=-x的對稱點C'，則|TQ-TC|的值=QC'．

解答：解：（1）把A（6，2）代入y=

k

x

得：k=12；
把A（6，2）代入y=k₁x得：6k1=2，解得：k₁=

1

3

；
根據(jù)反比例函數(shù)的中心對稱性可得B的坐標是（-6，-2）；
（2）∵OA=OB，OP=OQ，
∴四邊形APBQ是平行四邊形；
（3）根據(jù)題意得：

y=3x y= 12 x

，
解得：

x=2 y=6

或

x=-2 y=-6

，
則P的坐標是（2，6），Q的坐標是（-2，-6）．
設(shè)直線PB的解析式是y=kx+b，
根據(jù)題意得：

-6k+b=-2 2k+b=6

，
解得：

k=1 b=4

，
則直線PB的解析式是y=x+4．
在解析式中，令x=0，解得y=4，
則C的坐標是（0，4）．
點C關(guān)于y=-x的對稱點C'是（-4，0）．
則|TQ-TC|的值=QC'=

(-2+4)2+(-6)2

=2

10

．

點評：本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式以及平行四邊形的判定，正確理解反比例函數(shù)的圖象是中心對稱圖形是關(guān)鍵．