【題目】如圖1.在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=,以B為圓心、1為半徑作圓,設(shè)點(diǎn)P為⊙B上一點(diǎn),線段CP繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到線段CD,連接DA、PD、PB.
(1)求證:AD=BP;
(2)若DP與⊙B相切,則∠CPB的度數(shù)為 ;
(3)如圖2,當(dāng)B、P、D三點(diǎn)在同一條直線上時(shí),求BD的長(zhǎng);
(4)BD的最小值為 ;BD的最大值為 .
【答案】(1)答案見解析;(2)∠CPB=45°或135°;(3);(4)1,3.
【解析】分析: (1)根據(jù)SAS即可證明△ACD≌△BCP,再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AD=BP;
(2)利用切線的性質(zhì)結(jié)合等腰直角三角形得出即可;
(3)當(dāng)B、P、D三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)利用勾股定理,可得BD的長(zhǎng);
(4)當(dāng)∠PBC=45°時(shí),BD有最小值;進(jìn)而得出BD有最大值.
詳解: (1)證明:如圖1,
∵∠ACB=90°,∠DCP=90°,
∴∠ACD=∠BCP
在△ACD與△BCP中,
∵
AC=BC
∠ACD=∠BCP
CD=CP
∴△ACD≌△BCP(SAS)
∴AD=BP;
(2)解:如圖2,
∵CP=CD,DP是⊙B的切線,∠PCD=90°,
∴∠BPD=90°,∠ADP=∠APD=45°,
∴∠CPB=45°+90°=135°,
同理可得:∠CPB=45°
故∠CPB=45°或135°;
故答案為:故∠CPB=45°或135°;
(3)解:∵△CDP為等腰直角三角形,
∴∠CDP=∠CPD=45°,∠CPB=135°,
由(1)知,△ACD≌△BCP,
∴∠CDA=∠CPB=135°,AD=BP=1,
∴∠BDA=∠CDA∠CDP=90°,
在Rt△ABC中,AB==2,
∴BD==;
(4)解:如圖3,
當(dāng)B、D、A三點(diǎn)在同一條直線上時(shí),BD有最小值,
由(1)得△ACD≌△BCP,
此時(shí)∠PBC=45°時(shí),BD的最小值為1;
同理可得:如圖4,
當(dāng)B、D、A三點(diǎn)在同一條直線上時(shí),
由(1)得△ACD≌△BCP,BD的最大值為:AB+AD=AB+BP=3.
故答案為:1,3.
點(diǎn)睛: 此題考查了圓的綜合題,涉及的知識(shí)有全等三角形的判定與性質(zhì),分類思想的運(yùn)用,最大值與最小值,注意分析問題要全面,以免漏解,有一定的難度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】計(jì)算
(1)8÷(﹣2)2﹣4×(﹣3)﹣|﹣6|
(2)( )×(﹣12)
(3)(4x+2y)-3(x-2y)
(4)4ab2-3[a2b-2(a2b-2ab2)]
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖(a),將兩塊直角三角尺的直角頂點(diǎn)C疊放在一起.
(1)若∠DCE=35°,∠ACB= ;若∠ACB=140°,則∠DCE= ;并猜想∠ACB與∠DCE的大小有何特殊關(guān)系,并說明理由;
(2)如圖(b),若是兩個(gè)同樣的三角尺60°銳角的頂點(diǎn)A重合在一起,則∠DAB與∠CAE的大小有何關(guān)系,請(qǐng)說明理由;
(3)已知∠AOB=α,∠COD=β(都是銳角),如圖(c),若把它們的頂點(diǎn)O重合在一起,請(qǐng)直接寫出∠AOD與∠BOC的大小相等的關(guān)系(用含有α,β的式子表示).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知△ABC中,∠B=90°,AB=8cm,BC=6cm,P、Q是△ABC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),其中點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿A→B方向運(yùn)動(dòng),且速度為每秒1cm,點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿B→C→A方向運(yùn)動(dòng),且速度為每秒2cm,它們同時(shí)出發(fā),設(shè)出發(fā)的時(shí)間為t秒.
(1)出發(fā)2秒后,求PQ的長(zhǎng);
(2)當(dāng)點(diǎn)Q在邊BC上運(yùn)動(dòng)時(shí),出發(fā)幾秒鐘,△PQB能形成等腰三角形?
(3)當(dāng)點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動(dòng)時(shí),求能使△BCQ成為等腰三角形的運(yùn)動(dòng)時(shí)間;
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知輪船A在燈塔P的北偏東30°的方向上,輪船B在燈塔P的南偏東70°的方向上.
(1)求從燈塔P看兩輪船的視角(即∠APB)的度數(shù)?
(2)輪船C在∠APB的角平分線上,則輪船C在燈塔P的什么方位?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】哈爾濱實(shí)驗(yàn)學(xué)校為了豐富學(xué)生的課余生活,計(jì)劃購(gòu)買圍棋和中國(guó)象棋供棋類興趣小組活動(dòng)使用.若購(gòu)買1副圍棋和1副中國(guó)象棋需用26元;若購(gòu)買8副圍棋和3副中國(guó)象棋需用158元;
(1)求每副圍棋和每副中國(guó)象棋各多少元;
(2)實(shí)驗(yàn)中學(xué)決定購(gòu)買圍棋和中國(guó)象棋共40副,總費(fèi)用550元,那么實(shí)驗(yàn)中學(xué)可以購(gòu)買多少副圍棋.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,點(diǎn)D是邊BC上的點(diǎn)(與B,C兩點(diǎn)不重合),過點(diǎn)D作DE∥AC,DF∥AB,分別交AB,AC于E,F(xiàn)兩點(diǎn),下列說法正確的是( 。
A. 若AD⊥BC,則四邊形AEDF是矩形
B. 若AD垂直平分BC,則四邊形AEDF是矩形
C. 若BD=CD,則四邊形AEDF是菱形
D. 若AD平分∠BAC,則四邊形AEDF是菱形
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知:在△ABC中,∠A=90°,AB=AC=1,P是AC上不與A、C重合的一動(dòng)點(diǎn),PQ⊥BC于Q,QR⊥AB于R.
(1)求證:PQ=CQ;
(2)設(shè)CP的長(zhǎng)為x,QR的長(zhǎng)為y,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍,并在平面直角坐標(biāo)系作出函數(shù)圖象.
(3)PR能否平行于BC?如果能,試求出x的值;若不能,請(qǐng)簡(jiǎn)述理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)A、B坐標(biāo)分別為(4,0)、(0,8),點(diǎn)C是線段OB上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)E在x軸正半軸上,四邊形OEDC是矩形,且OE=2OC.設(shè)OE=t(t>0),矩形OEDC與△AOB重合部分的面積為S.根據(jù)上述條件,回答下列問題:
(1)當(dāng)矩形OEDC的頂點(diǎn)D在直線AB上時(shí),t= ;
(2)當(dāng)t=4時(shí),直接寫出S的值;
(3)求出S與t的函數(shù)關(guān)系式;
(4)若S=12,則t= .
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