Question

如圖所示，拋物線y=-x²+mx+n經(jīng)過點A（1，0）和點C（4，0），與y軸交于點B．
（1）求拋物線所對應的解析式．
（2）連接直線BC，拋物線的對稱軸與BC交于點E，F(xiàn)為拋物線的頂點，求四邊形AECF的面積．

Answer 1

考點：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,二次函數(shù)的性質

專題：計算題

分析：（1）利用交點式可直接寫出拋物線的解析式；
（2）先把解析式配成頂點式得到F的坐標（

5

2

，

9

4

），在確定B點坐標，接著利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，則可確定E點坐標，然后利用四邊形AECF的面積=S_△ACE+S_△ACF進行計算．

解答：解：（1）拋物線解析式為y=-（x-1）（x-4）=-x²+5x-4；
（2）y=-x²+5x-4=-（x-

5

2

）²+

9

4

，則拋物線的對稱軸為直線x=

5

2

，頂點F的坐標為（

5

2

，

9

4

）；
當x=0時，y=-x²+5x-4=-4，則B點坐標為（0，-4）
設直線BC的解析式為y=kx+b，
把B（0，-4），C（4，0）代入得

b=-4 4k+b=0

，解得

k=1 b=-4

，
則直線BC的解析式為y=x-4，
當x=

5

2

時，y=x-4=

5

2

-4=-

3

2

，則E點坐標為（-

3

2

，0），
所以四邊形AECF的面積=S_△ACE+S_△ACF
=

1

2

×（4-1）×

3

2

+

1

2

×（4-1）×

9

4

=

45

8

．

點評：本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當?shù)姆椒ㄔO出關系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當已知拋物線的頂點或對稱軸時，常設其解析式為頂點式來求解；當已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設其解析式為交點式來求解．也考查了二次函數(shù)的性質．