Question

已知：如圖，△ABC中，AB=AC，P是BC延長線上一點，PE⊥AB，PF⊥AC，CD⊥AB．求證：PE=CD+PF．

Answer 1

考點：等腰三角形的性質

專題：證明題

分析：作CG⊥PE于G，先證明四邊形CDEG是矩形，得出GE=CD，再證明△PGC≌△PFC，證出PG=PF，即可得出結論．

解答： 解：作CG⊥PE于G，如圖所示：
則∠CGE=∠CGP=90°，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，CD⊥AB，
∴∠GED=∠PFC=∠EDC=90°，CD∥PE，
∴四邊形CDEG是矩形，∠1=∠3，
∴GE=CD，
∵∠AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵∠B+∠3=90°，∠2+∠PCF=90°，∠ACB=∠PCF，
∴∠2=∠3，∴∠1=∠2，
在△PGC和△PFC中，

∠CGP=∠PFC   ∠1=∠2   CP=CP

，
∴△PGC≌△PFC（AAS），
∴PG=PF，
∴PE=GE+PG=CD+PF．

點評：本題考查了等腰三角形的性質和全等三角形的判定與性質；通過作輔助線證明三角形全等得出線段相等是解題的關鍵．