Question

在平行四邊形ABCD中，M，N分別是BC，DC的中點(diǎn)，AM=4，AN=3，且∠MAN=60°，求AB的長．

Answer 1

考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì)

專題：幾何圖形問題,數(shù)形結(jié)合,分類討論

分析：首先延長DC和AM交于E，過點(diǎn)E作EH⊥AN于點(diǎn)H，易證得△ABM≌△ECM，即可得AB=

2

3

NE，然后由AM=4，AN=3，且∠MAN=60°，求得AH，NH與EH的長，繼而求得EN的長，則可求得答案．

解答：解：延長DC和AM交于E，過點(diǎn)E作EH⊥AN于點(diǎn)H，
∵四邊形ABCD為平行四邊形
∴AB∥CE，
∴∠BAM=∠E，∠B=∠ECM，
∵M(jìn)為BC的中點(diǎn)，
∴BM=CM，
在△ABM和△ECM中，

∠BAM=∠E ∠B=∠ECM BM=CM

，
∴△ABM≌△ECM（AAS），
∴AB=CD=CE，AM=EM=4，
∵N為邊DC的中點(diǎn)，
∴NE=3NC=

3

2

AB 即AB=

2

3

NE，
∵AN=3，AE=2AM=8，且∠MAN=60°，
∴∠AEH=30°，
∴AH=

1

2

AE=4，
∴EH=

AE2-AH2

=4

3

，
∴NH=AH-AN=4-3=1，
∴EN=

NH2+EH2

=7，
∴AB=

2

3

×7=

14

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．