Question

（1）如圖1，直線m經過等腰直角△ABC的頂點A，過點B、C分別作BD⊥m，CE⊥m，垂足分別為D、E，求證：BD+CE=DE；
（2）如圖2，直線m經過△ABC的頂點A，AB=AC，在直線m上取兩點 D，E，使∠ADB=∠AEC=α，補充∠BAC=

 

（用α表示），線段BD，CE與DE之間滿足BD+CE=DE，補充條件后并證明；
（3）在（2）的條件中，將直線m繞著點A逆時針方向旋轉一個角度到如圖3的位置，并改變條件∠ADB=∠AEC=

 

（用α表示）．通過觀察或測量，猜想線段BD，CE與DE之間滿足的數量關系，并予以證明．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質

專題：

分析：（1）根據BD⊥m，CE⊥m，得出∠DAB+∠ABD=90°，∠ADB=∠AEC，再根據∠BAC=90°，求出∠ABD=∠EAC，在△ADB和△CEA中，根據“AAS”得出△ADB≌△CEA，從而證出BD+CE=DE；
則AE=BD，AD=CE，于是DE=AE+AD=BD+CE；
（2）補充∠BAC=α，根據ADB=∠BAC=α，得出∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，根據AAS證出△ADB≌△CEA，從而得出AE=BD，AD=CE，即可證出BD+CE=DE
（3）補充∠ADB=∠AEC=180°-α，根據補充的條件得出∠ABD+∠BAD=α，再根據∠BAD+∠CAE=α，得出∠ABD=∠CAE，再根據AAS證出△ABD≌△CAE，得出AE=BD，CE=AD，即可證出BD+DE=CE．

解答：解：（1）∵BD⊥m，CE⊥m，
∴∠DAB+∠ABD=90°，∠ADB=∠AEC，
∵∠BAC=90°，
∴∠DAB+∠EAC=90°，
∴∠ABD=∠EAC，
在△ADB和△CEA中，

∠ADB=∠AEC ∠ABD=∠EAC AB=AC

，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴BD=AE，AD=CE，
∴BD+CE=AD+AE=DE；

（2）補充∠BAC=α，理由如下：
∵∠ADB=∠BAC=α，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α，
∴∠CAE=∠ABD，
在△ADB和△CEA中，

∠ABD=∠CAE ∠BDA=∠CEA AB=AC

，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴BD+CE=AE+AD=DE；

（3）補充∠ADB=∠AEC=180°-α，理由如下：
∵∠ADB=180°-α，
∴∠ABD+∠BAD=α，
∵∠BAD+∠CAE=α，
∴∠ABD=∠CAE，
在△ABD和△CAE中，

∠ABD=∠CAE ∠ADB=∠AEC AB=AC

，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴AE=BD，CE=AD，
∴BD+DE=AE+DE=AD=CE；

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質、三角形的內角和定理，關鍵是根據全等三角形的判定添加適當的條件，求出各邊之間的關系．