Question

四邊形ABCD為正方形（四邊相等，四角為直角），點P為直線DC上一點，連接AP作等腰Rt△APQ，AP⊥AQ（其中A、P、Q按逆時針排列），直線CQ交直線AD于M點．
（1）如圖①，點P在DC邊上時，線段DM和CP之間是否存在某種確定的數(shù)量關(guān)系？寫出你的結(jié)論并證明；
（2）如圖②，點P在DC的延長線上時，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否仍然成立：證明你的結(jié)論；
（3）如圖③，點P在CD的延長線上時，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請你完成圖③，并直接寫出你的結(jié)論，不需要證明．

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：綜合題

分析：（1）過點Q作QN⊥AD于點N，然后推出△ANQ≌△PDA，進(jìn)而得到△QMN≌△CMD，最后通過等量代換得到結(jié)論；
（2）過點Q作QN⊥AD于點N，然后推理方法同（1）；
（3）先根據(jù)題意把圖補充完整，再寫出和前面一樣的結(jié)論，理由同前面兩問．

解答：解：（1）DM=

1

2

CP，理由如下：
如圖1所示，過點Q作QN⊥AD于點N，
因為△APQ是等腰直角三角形，
∴AQ=AP，
∵∠QAN+∠DAP=90°，∠APD+∠DAP=90°，
在△ANQ和△PDA中，

∠ANQ=∠ADP=90°   ∠QAN=∠APD   AQ=AP

，
∴△ANQ≌△PDA，
∴AN=PD，QM=AD=CD，
∵AD=CD，
∴ND=CP，
在△QMN和△CMD中，

∠QNM=∠CDM=90°   ∠QMN=∠CMD   QM=CD

，
∴△QMN≌△CMD，
∴MN=MD，
∴DM=

1

2

ND=

1

2

CP；

（2）（1）中的結(jié)論仍然成立，理由如下：
如圖2所示，過點Q作QN⊥AD于點N，
∵∠QAN+∠NAP=90°，∠APD+∠NAP=90°，
∴∠QAN=∠APD，
在△ANQ和△PDA中，

∠ANQ=∠PDA=90°   ∠QAN=∠APD   AP=AQ

，
∴△ANQ≌△PDA，
∴AN=PD，QN=AD=CD，
∵AD=CD，
∴ND=CP，
在△QMN和△CMD中，

∠QMN=∠CMD   ∠CDM=∠QNM=90°   QN=CD

，
∴△QMN≌△CMD，
∴MN=MD，
∴MD=

1

2

ND=

1

2

CP；

（3）（1）中的結(jié)論仍然成立，
如圖3所示，MD=

1

2

CP．理由如下：
過點Q作QN⊥AD于點N，
∵∠NAQ+∠PAD=90°，∠APD+∠PAD=90°，
∴∠NAQ=∠APD，
在△ANQ和△PDA中，

∠QNA=∠PDA=90°   ∠NAQ=∠APD   AQ=AP

，
∴△ANQ≌△PDA，
∴AN=PD，QN=AD=CD，
在△QMN和△CMD中，

∠QNM=∠CDM=90°   ∠QMN=∠CMD   QN=CD

，
∴△QMN≌△CMD，
∴MN=MD=

1

2

ND，
∵PD=AN，
∴MD=

1

2

(PD+CD)=

1

2

PC．

點評：該題目考查了正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，知識點比較多，關(guān)鍵是猜想出兩個線段之間的數(shù)量關(guān)系，然后才能轉(zhuǎn)化為尋求三角形全等來進(jìn)行解決．